OMA Foros

Decimos que un conjunto de enteros positivos distintos es perfecto si la suma de cualquier elección de números distintos del conjunto es una potencia perfecta. Si ninguna de estas sumas es una potencia perfecta, decimos que es anti-perfecto.

a) Demostrar que existe un conjunto perfecto de $2022$ elementos.
b) Demostrar que existe un conjunto anti-perfecto de $2022$ elementos.

Aclaración: Una potencia perfecta es un número de la forma $n^k$ donde $n$ y $k$ son ambos números naturales mayores o iguales que $2$.

a) Sean $a,b,c$ números reales tales que $a+b+c=0$ probar que $a^3+b^3+c^3>0$ si y sólo si $a^5+b^5+c^5>0$.

b) Sean $a,b,c,d$ números reales tales que $a+b+c+d=0$ probar que $a^3+b^3+c^3+d^3>0$ si y sólo si $a^5+b^5+c^5+d^5>0$.

Aclaración: Para probar un si y sólo si hay que probarlo en las dos direcciones.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\widehat A=\widehat C$ y sea $P$ el punto de intersección de sus diagonales. Si $P$ es el punto medio de $AC$, demostrar que $ABCD$ es un paralelogramo o un romboide.

Sea $x$ un real positivo tal que$$\left \{\frac{1}{x}\right \}=\{x\}=\left \{x^{2022}\right \}.$$Demostrar que $x=1$.

Aclaración: $\{a\}$ es la parte fraccionaria del número real $a$. Por ejemplo, $\{12,34567\}=0,34567$ y $\left \{\dfrac{4}{3}\right \}=0,\overset \frown 3$.

Decimos que una palabra es un palíndromo si se lee igual en ambos sentidos. Construimos una secuencia de palabras de la siguiente manera: $P_0=a$, $P_1=b$ y para $n \geq 2$ la palabra $P_n$ resulta de escribir la palabra $P_{n-2}$ seguida de $P_{n-1}$.
Demostrar que para $n\geq 1$ la palabra $P_1P_2\cdots P_{n-1}P_n$ es un palíndromo.

OMA Foros

Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 3 Problema 6

Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 3 Problema 5

Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 3 Problema 4

Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 3 Problema 3

Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 3 Problema 2