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Entrenamiento Cono 2018 P43


Sea $n\geq 2$ un entero positivo. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) Para todo entero $x$ coprimo con $n$ vale la congruencia $x^6\equiv 1$ (mod n).

b) $n$ divide a $504$

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Entrenamiento Cono 2018 P42


Sean $n$ y $k$ dos enteros positivos tales que $1\leq n\leq k$. Demostrar que si $d^k+k$ es un número primo para cada divisor positivo $d$ de $n$ entonces $n+k$ es un número primo.

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Entrenamiento Cono 2018 P41


Si $a$,$b$,$c\in [-1,1]$ son tales que $a+b+c+abc=0$, demostrar que
$a^2+b^2+c^2\geq 3(a+b+c)$

¿Cuando vale la igualdad?

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Entrenamiento Cono 2018 P40


La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca a los lados $BC$, $CA$, $AB$ en los puntos $D$, $E$, $F$ respectivamente. En los segmentos $EF$, $FD$, $DE$ consideramos los puntos $M$, $N$, $P$ respectivamente tales que $BM+MC$, $CN+NA$, $AP+PB$ [

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Entrenamiento Cono 2018 P39


Demostrar que si $a$, $b$, $c$, $d\in [1,2]$ entonces
$\frac{a+b}{b+c}+\frac{c+d}{d+a}\leq 4\frac{a+c}{b+d}$

¿Cuando vale la igualdad?

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