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Ver último mensaje sin leer FOFO de Pascua 2024


¡V FOFO de Pascua!

¡¡¡Vuelve la famosa y tan esperada FOFO de Pascua!!!

¿Qué es el FOFO?
Es como un falso OFO.

¿Cuándo se llevará a cabo?
El Certamen se llevará a cabo a partir de las 00:00 hs del día Jueves 28 de Marzo de 2024, y concluirá a las 23:59 hs del día Martes 2 de Abril de 2024.

¿Cómo me inscribo?
La inscripción está abierta HASTA las 23:59 del día Miércoles 27 de Marzo de 2024. Para inscribirse, el usuario interesado deberá comentar en este thread "me inscribo" o algo similar.

¿Cómo es el sistema?
Vamos a proponer una cantidad al azar de problemas, que estará en el rango desde 1 hasta 10 problemas. Estos problemas se van a publicar aquí en el foro en un post CERRADO (nadie va a poder responder en el propio post). La solución a cada problema la deberán enviar por mensaje privado a quien figure como autor del post (que además será el encargado de corregir dicha solución) hasta las 23:59 del 2 de Abril.

¿Cómo es el sistema de corrección?
Los puntajes consisten en un número entero entre 0 y 7.

¿Cómo me entero de cómo me fue?
Una vez concluido el período de envío de soluciones se publicará una lista con los primeros puestos. Los participantes que obtengan los mejores puntajes recibirán una medallita especial, que en este caso será un huevo de pascua.

¿Pueden participar ex-olímpicos?
No, esta prueba está orientada solo para actuales olímpicos.

¿Se puede participar en equipo?
No. La idea es que los problemas se resuelvan individualmente, de manera que el ambiente en que se trabaje sea similar al de la OMA.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
Se pueden consultar apuntes y material de Internet, pero no está permitido utilizar software para pensar problemas. Sí está permitido, y recomendamos fuertemente, incluir en las soluciones a los problemas de geometría figuras de análisis hechas utilizando algún software, como Geogebra.

¿Esta edición tendrá el mismo formato que las FOFOs anteriores?
Si, respetará el mismo formato.

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Tenemos una cuadrícula de $5 \times 7$, como se muestra en la figura. Determine cuántos hexágonos cumplen que sus seis lados están incluidos en Ias líneas de esa cuadrícula. A modo de ejemplo, mostramos uno de los hexágonos que debe ser considerado.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sea $AD$ la altura relativa al lado $BC$ del triángulo acutángulo $ABC$. $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Sea $E$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas a los triángulos $BDM$ y $CDN$. Muestra que la recta $DE$ pasa por el punto medio de $MN$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En una competencia se otorgan medallas de oro, medallas de plata y medallas de bronce. Cada medalla de oro pesa $14\text{ g}$; cada medalla de plata, $9\text{ g}$; cada medalla de bronce, $5\text{ g}$. Cada una de oro vale $7$ puntos; cada una de plata, $4$ puntos; cada una de bronce, $1$ punto. La escuela de Juan participó en la competencia y obtuvo en total $68$ puntos. El peso total de las medallas que obtuvo es de $189\text{ g}$. Si obtuvo $15$ medallas de bronce, ¿cuántas medallas de plata y cuántas medallas de oro obtuvo?
Link al tema.


  • Últimos temas

NO selectivo IMO _ 2024


En muy poco tiempo llega el selectivo IMO!

Para l@s que no sepan, el selectivo IMO es una prueba de selección, ni más ni menos, para el equipo argentino de la IMO. Si aprobaste el nacional podés rendirlo. Para manijearla un poco, acá agarré varios problemas que, si bien no son de selectivos de Argentina pasados, considero de dificultad y teoría parecidas... Un simulacro!!

Para mejorar la experiencia del simulacro (si es que pueden y quieren), preparen un intervalo de 4 horas (creo que el sel imo duraba 4 horas?), hojas, lapiceras, toda la cartuchera, alguna fruta y/o alfajor, para pensar los problemas!

Aclaraciones:

Esto es algo que hice yo, claramente no tiene ningún carácter oficial. Como olímpico me entrené solo la mayor parte del tiempo, y reservaba algunos problemas de ciertos años para hacer este tipo de simulacros.

Dicho esto, si van a probar este simulacro o ir al sel imo, no se frustren si no pueden resolver algún problema!! Los problemas de los sel imo reales, de hecho, no necesariamente están en orden de dificultad (Hasta donde yo sé), a veces pueden ser más simples y otras veces imposibles... Al fin y al cabo puede pasar cualquier cosa.

Bueno, molta parla, acá están:

"Día" 1
Spoiler: mostrar

En word:
NO selectivo IMO _ 2024 _ Día 1.docx
En pdf:
NO selectivo IMO _ 2024 _ Día 1.pdf
(para celu conviene pdf)
"Día" 2
Spoiler: mostrar
En word:
NO selectivo IMO _ 2024 _ Día 2.docx
En pdf:
NO selectivo IMO _ 2024 _ Día 2.pdf
(para celu conviene pdf)

Mucha merd!!

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Problema interesante #2


Dos jugadores, $A$ y $B$, juegan al siguiente juego. En el pizarrón inicialmente están escritos los números $\{1,2,3,\ldots ,n\}$. Comenzando por $A$, los dos jugadores se turnan borrando un número cada uno hasta que queden solamente dos números escritos en el pizarrón. Si estos dos números son coprimos entre sí (no tienen ningún divisor en común aparte del $1$) entonces gana $A$. En el caso contrario gana $B$. Determinar, para cada entero positivo $n\geq 4$, cuál jugador puede asegurarse la victoria independientemente de como juegue su oponente.

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Dividir un cuadrado


Determinar todos los números $n \in \mathbb Z^+$ para los cuales un cuadrado se puede dividir en $n$ cuadrados mas pequeños.

Aclaración: No valen superposiciones ni espacios libres.

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Demostración del teorema de Pitágoras usando inversión


Les comparto esta demostración del teorema de Pitágoras que se me ocurrió al ver una demostración del teorema de Ptolomeo.
(Les dejo el link al video por si lo quieren ver https://www.youtube.com/watch?v=bJOuzqu ... umberphile)
Spoiler: mostrar
Consideremos un triangulo rectángulo $ABC$ y sea $D$ en la circunferencia circunscrita en $ABC$ tal que $ABDC$ es un rectángulo.
geogebra-export (5).png

Ahora vamos a invertir los puntos $B, C$ y $D$ con respecto a una circunferencia de centro $A$. Como $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico de centro $A$, entonces sabemos que los inversos de $B, C$ y $D$ van a caer en una recta, la cual es mas fácil para trabajar.
geogebra-export (7).png
Trivialmente sabemos que $B'D' + C'D' = B'C'$ y por propiedad de la inversión, sabemos que:

$B'C' = \frac{BC.R^2}{AC.AC}$

$B'D' = \frac{BD.R^2}{AB.AD}$

$C'D' = \frac{CD.R^2}{AC.AD}$

Donde $R$ es el radio de la circunferencia de centro $A$.
(En esta publicación, el link 3 de geometría tiene la demostración a esta propiedad: https://omaforos.com.ar/viewtopic.php?p ... tes#p30228)

Sabiendo todo esto podemos plantear que:
$$B'D' + C'D' = B'C'$$
$$\frac{BD.R^2}{AB.AD} + \frac{CD.R^2}{AC.AD} = \frac{BC.R^2}{AC.AC}$$
$$\frac{BD}{AB.AD} + \frac{CD}{AC.AD} = \frac{BC}{AC.AC}$$
$$BD.AC + CD.AB = BC.AD$$

Pero recordemos que $ABDC$ es un rectángulo, por lo que $AB = CD, AC = BD$ y $BC = AD$. Luego, nos queda:
$$AC.AC + AB.AB = BC.BC$$
$$AC^2 + AB^2 = BC^2$$

O en palabras mas lindas, si decimos que $AC = a, AB = b$ y $BC = c$:
$$\boxed{a^2 + b^2 = c^2}$$
$\blacksquare$

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OMA


Alguien sabe cómo se resuelve el problema regional de 2011 nivel 1 problema 3.

Gracias!

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