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Resultados FOFO 14 Años

Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios. En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para el primer puesto (en este caso, el participante que obtuvo al menos 50 puntos) se otorga una Copa Especial, para los siguientes 4 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 42 y 49 puntos) se otorga una Medalla Especial, y para los siguientes 10 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 21 y 41 puntos) se otorga una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!

Spoiler: mostrar: \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{BR1} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{Ignacio Daniele} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{4} & \text{lola.m} &\text{Medalla Especial}\\ \hline
\text{4} & \text{marcoalonzo} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{6} & \text{Ulis7s} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Emily in Paris} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Majamar} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Manuel galli} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{10} & \text{riquelme10xd} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{drynshock} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{rayo5555} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{Luxcas213} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{Esteban Quito} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{magnus} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicitaciones a todos!

Consideramos una sucesión de números entre $0$ y $1$ en la que el número que sigue a $x$ es $1-|1-2x|$. Demostrar que el primer número de la sucesión es racional si y sólo si la sucesión es periódica.

En un manual de botánica cada planta está caracterizada por $100$ atributos (cada atributo puede estar o no presente en cada planta). Dos plantas se dicen disímiles si difieren en $51$ o más atributos. Demostrar que el manual no puede describir más de $50$ plantas disímiles. ¿Puede describir $50$ plantas disímiles?

Consideramos un cuadrilátero convexo $ABCD$. Las prolongaciones de sus lados se cortan: $AB$ con $CD$ en $P$ y $BC$ con $AD$ en $Q$. Sea $K$ la intersección de las bisectrices exteriores de los ángulos $\angle{A}$ y $\angle{C}$ del cuadrilátero; sea $L$ la intersección de las bisectrices exteriores de los ángulos $\angle{B}$ y $\angle{D}$ del cuadrilátero y sea $M$ la intersección de las bisectrices exteriores de los ángulos $\angle{P}$ y $\angle{Q}$. Demostrar que los puntos $K$, $L$ y $M$ son colineales.

¿Existe un conjunto infinito de ternas de enteros $x, y, z$ (no necesariamente positivos) tales que $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$?

En el interior de un cuadrado de lado $1$ se ubican cuadrados más pequeños, sin superposiciones, de lados paralelos a los del cuadrado mayor (los cuadrados pequeños pueden ser de diferentes tamaños). Trazar una diagonal del cuadrado de lado $1$ y considerar todos los cuadrados pequeños con intersección no vacía con esa diagonal. ¿Puede ser que la suma de sus perímetros sea mayor que $1993$?

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