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Sean $a_1,a_2,\ldots ,a_{2023}$ enteros positivos tales que

$a_1,a_2,\ldots ,a_{2023}$ es una permutación de $1,2,\ldots ,2023$, y
$|a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\ldots ,|a_{2022}-a_{2023}|$ es una permutación de $1,2,\ldots ,2022$.

Demostrar que $\max (a_1,a_{2023})\geq 507$.

Un conjunto finito $\mathfrak{R}$ de rectas coplanares entre las que no hay tres concurrentes es impar si, para toda recta $\ell$ en $\mathfrak{R}$, la cantidad total de rectas de $\mathfrak{R}$ que cruza $\ell$ es impar.

Demostrar que todo conjunto finito de rectas coplanares entre las que no hay tres concurrentes se puede extender a un conjunto impar de rectas coplanares.
Dado un entero positivo $n$, determinar el menor entero no negativo $k$ que satisface la siguiente condición: Todo conjunto de $n$ rectas coplanares entre las que no hay tres concurrentes se puede extender a un conjunto impar de $n+k$ rectas coplanares.

Sean $m$ y $n$ enteros mayores que $1$, y sea $S$ un conjunto de puntos de coordenadas enteras del rectángulo cartesiano $[1,m]\times [1,n]$. Demostrar que si $S\geq m+n+\left \lfloor \frac{1}{4}m+\frac{1}{4}n-\frac{1}{2}\right \rfloor$ entonces existe una circunferencia que pasa por al menos cuatro puntos de $S$ distintos dos a dos.

Sea $O$ un punto interior a un triángulo $ABC$ del plano. Una circunferencia $\mathcal{C}$ que pasa por $O$ corta por segunda vez a $OA,OB,OC$ en $P,Q,R$, respectivamente, y $\mathcal{C}$ corta por segunda vez a las circunferencias $(B,O,C),(A,O,C),(A,O,B)$ en $K,L,M$, respectivamente. Probar que $PK,QL,RM$ son concurrentes.

Sea $n>1$ un entero y $X$ un conjunto de $n$ elementos.

Los subconjuntos $A_1,A_2,\ldots ,A_{101}$ de $X$ son tales que la unión de cualesquiera de ellos tiene más de $\frac{50}{51}n$ elementos.

Probar que entre los subconjuntos dados es posible elegir tres de modo que todo par de ellos tenga intersección no vacía.

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IMO Shortlist 2023 A5

Entrenamiento IMO 2024 - Problema 67

Entramiento IMO - Problema 68

Entramiento IMO - Problema 66

Entrenamiento IMO 2024 - Problema 65