OMA Foros

Problema del día de OMA:
Una palabra es una secuencia finita de letras de algún alfabeto. Se dice que una palabra es repetitiva si es una concatenación de al menos dos subpalabras idénticas (por ejemplo, $ABABAB$ y $ABCABC$ son repetitivas, pero $ABABA$ y $AABB$ no lo son). Demostrar que si una palabra tiene la propiedad de que intercambiar dos letras adyacentes cualquiera hace que la palabra sea repetitiva, entonces todas sus letras son idénticas. (Tenga en cuenta que se puede intercambiar dos letras adyacentes idénticas, dejando la palabra sin cambios.)
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Problema del día de Geometría:
Llamamos a dos polígonos simples $P, Q$ compatibles si existe un entero positivo $k$ tal que cada uno de los polígonos $P, Q$ puede ser particionado en $k$ polígonos congruentes, que son semejantes al otro polígono. Demuestre que para todo dos enteros pares $m, n \geq 4$, hay dos polígonos compatibles con $m$ y $n$ lados.
Aclaración: Un polígono simple es un polígono que no se interseca a sí mismo.
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Problema del día de Ñandú:
En la figura, $ABF$ es un triángulo isósceles.
$AGHI$ y $BCDE$ son cuadrados.
$HG=DE$, $FE=2BC$.
El perímetro de $ABEGHI$ es $582\text{ cm}$.
El perímetro de $ABEG$ es $426\text{ cm}$.
El perímetro de $EFG$ es $420\text{ cm}$.
¿Cuál es el perímetro de $BCDE$?
¿Cuál es el perímetro de $ABF$?
¿Cuál es el perímetro de $ABCDEGHI$?

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