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Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y sea $\omega$ su circunferencia de los $9$ puntos. La recta tangente $t_A$ a $\omega$ trazada por el pie de la altura del $ABC$ correspondiente al vértice $A$ corta a la circunferencia de diámetro $AB$ nuevamente en $K_A$. La recta que pasa por los pies de las alturas del triángulo $ABC$ desde $A$ y desde $C$ cortan a las rectas $AK_A$ y $BK_A$ en $L_A$ y $M_A$ respectivamente, y las rectas $t_A$ y $CM_A$ se cortan en $N_A$. De modo similar se definen los puntos $K_B,L_B,M_B,N_B$ y $K_C,L_C,M_C,N_C$ para las ternas $(B,C,A)$ y $(C,A,B)$ respectivamente. Demostrar que las rectas $L_AN_A, L_BN_B$ y $L_CN_C$ son concurrentes.

Sean $(P_n)_{n\geq 1}$ una familia infinita de planos y $(X_n)_{n\geq 1}$ una familia de conjuntos finitos y no vacíos de puntos tales que $X_n\subset P_n$ y la proyección ortogonal de $X_{n+1}$ sobre el plano $P_n$ está contenida en $X_n$, para todo $n$.

Probar que hay una sucesión de puntos $(p_n)_{n\geq 1}$ tal que $p_n\in P_n$ y $p_n$ es la proyección ortogonal de $p_{n+1}$ sobre el plano $P_n$ para todo $n$.

¿Es cierto el resultado si los conjuntos $X_n$ son infinitos?

Sean $ABCD$ un cuadrilátero convexo y $M,N,P,Q$ los puntos medios de los lados $AB,BC,CD,DA$, respectivamente. Demostrar que si $ANQ$ y $CMQ$ son triángulos equiláteros, entonces $ABCD$ es un rombo. Hallar los ángulos de $ABCD$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$, y sea $\Gamma$ su circuncírculo. La tangente a $\Gamma$ por $A$ corta nuevamente a la recta $BC$ en $K$. La circunferencia $\Omega$ de radio $KA$ con centro en $K$ corta nuevamente a $\Gamma$ en $L$. La recta $BL$ corta nuevamente a $\Omega$ en $M$, y la recta $CM$ corta nuevamente a $\Omega$ en $N$. Demostrar que la recta $AN$ pasa por el punto medio del segmento $BC$.

El archipiélago Imomi consiste de $n\geq 2$ islas. Entre cada par de islas hay una única línea de ferry que viaja en ambas direcciones, y cada línea de ferry está operada por una de $k$ compañías. Se sabe que si cualquiera de las $k$ compañías cierra todas sus líneas de ferry, entonces se torna imposible para un viajero, no importa donde inicie su viaje, visitar todas las islas exactamente una vez (en particular, no puede regresar a la isla de la que partió).

Determinar el máximo valo posible de $k$ en términos de $n$.

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Entrenamiento IMO 2024 - Problema 43

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