OMA Foros

FOFO ANIVERSARIO: 14 AÑOS
COSMIC FOFO

OMA Foros cumple 14 años y ya está en edad de OMA! Para festejar que por fin va a conocer a Floricia, vamos a hacer nuevamente una edición de la/el FOFO para todos los olímpicos que transitan por la más bella Olimpíada...

¿Qué es el FOFO?
Es como un falso OFO (y OFO es la competencia online que hacemos durante el verano, también conocido como el falso FOFO).

¿Cuándo se llevará a cabo?
La competencia se llevará a cabo desde el Viernes 11 de Octubre a las 00:00 hs hasta el Domingo 13 de Octubre a las 23:59 hs.

¿Cómo me inscribo?
Comentando en este post "me inscribo" o algo similar.

¿Cómo es el sistema?
Cuando sea la competencia vamos a proponer una cierta cantidad de problemas. Estos problemas se van a publicar el Viernes 11 de Octubre a las 00:00 hs aquí en el foro en un post CERRADO (nadie va a poder responder en el propio post). La solución a cada problema la deberán enviar por mensaje privado a quien figure como autor del post (que además será el encargado de corregir dicha solución). Tendrán tiempo para enviar soluciones hasta el Domingo 13 de Octubre a las 23:59 hs. Se pueden consultar apuntes y material de Internet, pero no está permitido utilizar software para pensar problemas. Recomendamos fuertemente enviar soluciones escritas en $\LaTeX$. Pueden leer aquí como utilizarlo.

¿Cómo es el sistema de corrección?
Los puntajes consisten en un número entero entre 0 y 7.

¿Cómo me entero de cómo me fue?
Una vez concluido el período de envío de soluciones se publicará una lista con los primeros puestos. Los participantes que obtengan mayor puntaje recibirán una medallita especial, y los demás que también tengan un buen desempeño recibirán una mención especial.

¿Pueden participar ex-olímpicos?
No pueden participar ex-olímpicos. Es sólo para actuales participantes de olimpíadas.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
Se pueden consultar apuntes y material de Internet, pero no está permitido utilizar software para pensar problemas. Sí está permitido, y recomendamos fuertemente, incluir en las soluciones a los problemas de geometría figuras de análisis (las cuales pueden hacer utilizando algún software, como Geogebra).

En un tablero de $8 \times 8$ hay $64$ fichas iguales, una en cada casilla. Arnaldo y Bernaldo se ubican en un mismo lado del tablero y juegan alternadamente, comenzando Arnaldo. En su turno, el jugador elige una ficha y la mueve, o una casilla para la derecha $\rightarrow$ o una casilla para arriba $\uparrow$ o una casilla diagonalmente para arriba a la derecha $\nearrow$. Si la ficha se mueve a una casilla ya ocupada, ambas fichas son retiradas del tablero. El jugador que no puede realizar ningún movimiento, pierde.

¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora?

Una permutación de $\{1, 2, \dots, n\}$ es mágica si cada elemento $k$ de ella tiene al menos $\left\lfloor \dfrac{k}{2} \right\rfloor$ números menores que él a su izquierda.

Por ejemplo, $(1, 3, 4, 2, 5)$ es mágica; $(1, 5, 2, 3, 4)$ no es mágica, ya que el $5$ no tiene al menos $\left\lfloor \dfrac{5}{2} \right\rfloor = 2$ números menores que él a su izquierda.

Para cada $n$, encontrar el número de permutaciones mágicas de $\{1, 2, \dots, n\}$.

Nota 1: $\left\lfloor x \right\rfloor$ denota al mayor entero menor o igual que $x$. Por ejemplo, $\left\lfloor 3.5 \right\rfloor = 3$ y $\left\lfloor 20 \right\rfloor = 20$.

Nota 2: Una permutación de $\{1, 2, \dots, n\}$ es una manera de listar los elementos de dicho conjunto en un cierto orden. Por ejemplo, $(1, 2, 3)$, $(1, 3, 2)$, $(2, 1, 3)$, $(2, 3, 1)$, $(3, 1, 2)$, $(3, 2, 1)$ son todas las permutaciones del conjunto $\{1, 2, 3\}$.

Para cada entero positivo $N$ con un número par $2k$ de dígitos, el número intercambiado de $N$ es el número que se obtiene cuando pasamos los primeros $k$ dígitos de $N$ al final, sin cambiar el orden.

Por ejemplo, si $N = 123456$, el número formado por la primera mitad de los dígitos es $123$, y el número formado por la segunda mitad es $456$ y el número intercambiado de $N$ es $456123$; si $N = 2304$, su número intercambiado es $423$.

Un entero positivo $C$ es llamado cearense si satisface las siguientes tres condiciones:

$C$ tiene un número par de dígitos.
El número formado por la primera mitad de los dígitos de $C$ y el número formado por la segunda mitad de los dígitos de $C$ son coprimos.
$C$ divide al intercambiado de $C$.

Determinar los dos números cearenses más pequeños.

Nota: Dos números enteros son coprimos si su máximo común divisor es $1$.

Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que $3^n-2^n-1$ sea un cuadrado perfecto.

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $A_1$ y $A_2$ puntos en el lado $BC$, sean $B_1$ y $B_2$ puntos en el lado $CA$, y sean $C_1$ y $C_2$ puntos en el lado $AB$, tales que $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ es un hexágono convexo y tales que $B$, $A_1$, $A_2$ y $C$ están ubicados en ese orden en el lado $BC$.

Decimos que los triángulos $AB_2C_1$, $BA_1C_2$ y $CA_2B_1$ son plegables si existe un triángulo $PQR$ y existen puntos $X$, $Y$ y $Z$ en los lados $QR$, $RP$ y $PQ$, respectivamente tales que el triángulo $AB_2C_1$ sea congruente en ese orden al triangulo $PYZ$, el triángulo $BA_1C_2$ sea congruente en ese orden al triangulo $QXZ$ y el triángulo $CA_2B_1$ sea congruente en ese orden al triangulo $RXY$.

Demostrar que los triángulos $AB_2C_1$, $BA_1C_2$ y $CA_2B_1$ son plegables si y solamente si los baricentros de los triangulos $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ coinciden.

Nota: El triángulo $FGH$ es congruente en ese orden al triángulo $IJK$ si $FG=IJ$, $GH=JK$ y $HF=KI$.

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