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Ver último mensaje sin leer Adjunto(s) Arrancó la FOFO de Pascua 2024


Arrancó la FOFO de Pascua 2024

Para dudas de enunciados postear en este thread.

Un pequeño FAQ para tener en cuenta a la hora de resolver los problemas y mandar las soluciones.

Si tengo una duda de enunciado, ¿dónde pregunto?
Las dudas de enunciado se preguntan respondiendo este post.

¿Los problemas están ordenados por dificultad?
Aproximadamente sí. Esto es un poco subjetivo, y en general no es cierto que necesariamente el problema $n$ sea más fácil que el $n+1$. Nuestro consejo es arrancar pensando desde los primeros y avanzar hacia los últimos.

¿A dónde tengo que mandar las soluciones?
Por ejemplo, el problema 1 lo publicó el usuario "fedoxcrov". Abajo de su nombre están enlistados su número de mensajes, su fecha de registro, y al final, hay un botón que dice "MP". Al hacer click allí, verás un panel para que escribas tu solución. Una vez que la termines de escribir y revisar, al hacer click en enviar, "fedoxcrov" recibirá tu solución.

¿Cuándo tengo que mandar las soluciones?
Las podés mandar en cualquier momento del fin de semana. Lo ideal sería que procures mandar tu solución una vez que estés seguro de que no te equivocaste. Recordá que tenés tiempo hasta las 23:59 del Martes 2 de Abril de 2024, y que podés reenviar soluciones y agregar aclaraciones todas las veces que vos quieras.

Algunas de las soluciones que mandé quedaron en "bandeja de salida" en vez de "mensajes enviados". ¿Qué significa esto?
Solamente significa que el destinatario aún no leyó el mensaje. No hace falta que lo envíes de nuevo.

¿Vale la pena mandar soluciones incompletas?
Si en algún problema lograste obtener resultados parciales, o ideas que creés que sirven mucho pero no sabés cómo terminar el problema, igual podés mandarnos tu solución. Podés rescatar algunos puntos que suman. Recordá que todos los problemas valen lo mismo en puntaje.

¿Cómo puedo obtener un premio?
Se darán medallas especiales a los usuarios con mejor desempeño. No obstante, habrá otros premios aparte de estas medallas, que se determinarán exclusivamente por puntaje.

¿Cuándo me entero de la corrección?
Una vez que termine el período de envío de soluciones, nosotros vamos a avisarte por mensaje privado cuál fue tu puntaje.

Si resolví pocos problemas ¿vale la pena que mande mis soluciones?
Sí, por supuesto que vale la pena. Por más que hagas un solo problema, mandá lo que tengas, porque podés ganar algún premio.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
Se pueden consultar apuntes y material de Internet, pero no está permitido utilizar software para pensar problemas. Sí está permitido, y recomendamos fuertemente, incluir en las soluciones a los problemas de geometría figuras de análisis hechas utilizando algún software, como Geogebra.

No me inscribí, ¿puedo participar igual?
Sí, podés.

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Carlos perdió una apuesta con Lucas, y para determinar cuánto dinero le pagará desarrollan el siguiente juego.
En cada casilla de un tablero cuadrado de $6\times 6$ Carlos escribirá un número entero del $1$ al $36$, sin repetir. A continuación, Lucas elegirá dos casillas adyacentes (que tienen un lado en común), y la suma de los dos números escritos por Carlos en esas casillas será la cantidad de dinero que Carlos le pagará a Lucas.
Carlos quiere pagar lo menos posible y Lucas quiere cobrar lo más posible. Hallar la cantidad de dinero que Carlos le pagará a Lucas y explicar cómo puede distribuir los números en el tablero para que sea imposible que Lucas cobre más que esa cantidad.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sea $ABC$ un triángulo tal que $\widehat C=90^\circ$ y $\widehat A>\widehat B$. La altura $CH$ corta a las dos bisectrices $AM$ y $BN$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Sea $R$ el punto medio de $PM$ y $S$ el punto medio de $QN$. Demostrar que $RS$ es paralelo a la hipotenusa $AB$.
Aclaración: $H$ pertenece al lado $AB$, $M$ pertenece al lado $BC$ y $N$ pertenece al lado $AC$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
La figura está partida en $2$ rectángulos y $4$ cuadrados.
El rectángulo $R$ tiene la base igual al doble de su altura.
El perímetro de $R$ es de $216\text{ cm}$.
¿Cuál es el área de la figura?
I2015N3P2.jpg

Link al tema.


  • Últimos temas

Encontrar la alineación de tres vértices.


Sean tres cuadrados, $ABCD$, $CEFG$ y $BJEK$. Probar que siempre existen 3 vértices, uno de cada cuadrado, que están alineados

y que además uno de los vértices es punto medio entre los otros dos.

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EGMO 2024 P6


Encontrar todos los enteros positivos $d$ para los cuales existe un polinomio $P$ de grado $d$ con coeficientes reales tal que $P(1),P(2),\ldots ,P(d^2-d)$ son a lo sumo $d$ valores distintos.

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EGMO 2024 P5


Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de enteros positivos. Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que para toda pareja de enteros positivos $(x,y)$ se cumplen las siguientes condiciones:

(i) $x$ y $f(x)$ tienen el mismo número de divisores positivos.
(ii) Si $x$ no divide a $y$ e $y$ no divide a $x$, entonces$$\operatorname{mcd}(f(x),f(y))>f(\operatorname{mcd}(x,y)).$$Aquí $\operatorname{mcd}(m,n)$ es el mayor entero que divide a $m$ y $n$.

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EGMO 2024 P4


Para una sucesión $a_1<a_2<\cdots <a_n$ de enteros, decimos que una pareja $(a_i,a_j)$ con $1\leq i<j\leq n$ es interesante si existe una pareja de enteros $(a_k,a_\ell )$ con $1\leq k<\ell \leq n$ tal que$$\frac{a_\ell -a_k}{a_j-a_i}=2.$$Para cada $n\geq 3$, encontrar el mayor número posible de parejas interesantes en una sucesión de longitud $n$.

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EGMO 2024 P3


Decimos que un entero positivo $n$ es peculiar si, para cualquier divisor positivo $d$ de $n$, el entero $d(d+1)$ divide a $n(n+1)$. Demuestre que para cualesquiera cuatro enteros positivos peculiares distintos $A$, $B$, $C$ y $D$, se cumple lo siguiente:$$\operatorname{mcd}(A,B,C,D)=1.$$
Aquí $\operatorname{mcd}(A,B,C,D)$ es el mayor entero positivo que divide a $A$, $B$, $C$ y $D$.

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