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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Un par ordenado $(x,y)$ de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de $x$ e $y$ es $1$. Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo $n$ y enteros $a_0,a_1,\ldots ,a_n$ tales que, para cada $(x,y)$ de $S$, se cumple:$$a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1$$
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Problema del día de Geometría:
Sea el triángulo acutángulo $ABC$, los puntos $A_0$ y $C_0$ son puntos medios de los menores arcos $BC$ y $AB$, respectivamente, una circunferencia que pasa por $A_0$ y $C_0$ corta a $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $S$, $Q$ y $R$, respectivamente (todos estos puntos son distintos), si $PQ\parallel AC$, probar que $A_0P+C_0S=C_0Q+A_0R$.
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Problema del día de Ñandú:
La figura $ABCDEG$ está formada por tres cuadrados iguales y el rectángulo $CDEF$.
n2 nac 2011 p2.jpg
$DE=2CD$; $O$ es el centro del cuadrado $CFGH$.
El perímetro de $ABCDEG$ es $108\text{ cm}$.
¿Cuál es el área de la región sombreada?
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  • Últimos temas

Primer Pretorneo 1997 NJ P4


Una circunferencia interseca dos veces a cada lado de un rombo, dividiendo cada lado en tres segmentos. Recorremos el perímetro del rombo, en el sentido de las agujas del reloj, empezando en un vértice y pintamos los segmentos de la subdivisión sucesivamente de rojo, blanco y azul. Demostrar que la suma de las longitudes de los segmentos azules es igual a la de los rojos.

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Primer Pretorneo 1997 NJ P3


a) ¿Puede ocurrir que en un grupo de $10$ mujeres y $9$ varones todas las mujeres conozcan diferentes cantidades de varones del grupo y al mismo tiempo todos los varones conozcan la misma cantidad de mujeres del grupo?

b) ¿Qué pasa si en el grupo hay $11$ mujeres y $10$ varones?

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Primer Pretorneo 1997 NJ P2


¿Para qué enteros positivos $n$ es posible dividir un triángulo equilátero de lado $n$ en trapecios iguales de lados $1, 1, 1, 2$?

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Primer Pretorneo 1997 NJ P1


Decidir si existen $19$ enteros positivos tales que la suma de los cuadrados de los $10$ primeros sea igual a la suma de los cuadrados de los últimos $9$.

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Segundo pretorneo 1996 NJ P4


Dos jugadores juegan al Súper Ta-Te-Ti en un tablero de $10\times 10$. El que empieza el juego usa $X$ y el segundo usa $*$. En cada turno, el jugador debe poner su símbolo en una casilla vacía. Cuando se han completado las $100$ casillas, se calculan dos números: $A$ y $B$. $A$ es la cantidad total de cinco $X$ consecutivas que hay, en fila, en columna o en diagonal (si hay, por ejemplo seis $X$ seguidas en una fila, estas contribuyen con $2$ al número $A$, si hay siete $X$ consecutivas, contribuyen con $3$, etc.). $B$ es la cantidad total de cinco $*$ consecutivas que hay, en fila, en columna o en diagonal. Si $A>B$, gana el primer jugador. Si $B>A$, gana el segundo jugador. Si $A=B$, empatan.

a) Decidir si el primer jugador tiene una estrategia que le asegure no perder (o sea, ganar o empatar), independientemente de lo bien que juegue el segundo.

b) Decidir si el primer jugador tiene una estrategia que le asegure ganar, independientemente de lo bien que juegue el segundo.

En caso afirmativo, describir la estrategia

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