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OMA Foros Open 2025

Vuelve el clásico del verano de OMA Foros, en su décima edición!

¿Qué es el OFO?
El OFO (OMA Foros Open) consistirá en una competencia online ABIERTA para todos los usuarios de OMA Foros que deseen participar.

¿Cuándo se llevará a cabo?
El Certamen se llevará a cabo a partir de las 00:00 hs del día viernes 31 de enero de 2025, y concluirá a las 23:59 hs del día domingo 9 de febrero de 2025.

¿Cómo me inscribo?
La inscripción está abierta hasta las 23:59 hs del día jueves 30 de enero de 2025. Para inscribirse, el usuario interesado deberá comentar en este thread "me inscribo" o algo similar.

¿Cómo es la competencia?
Algunos integrantes del equipo de OMAForos vamos a proponer varios problemas, de dificultades y temas variados. Estos problemas se van a publicar aquí en el foro en un post CERRADO (nadie va a poder responder en el propio post). La solución a cada problema la deberán enviar por mensaje privado a quien figure como autor del post (que además será el encargado de corregir dicha solución) hasta las 23:59 hs del día domingo 9 de febrero de 2025. Recomendamos fuertemente enviar soluciones escritas en $\LaTeX$. Pueden leer aquí como utilizarlo.

¿Cómo es el sistema de corrección?
A la solución de cada problema se le asignará un puntaje entero del 0 al 7.

¿Cómo me entero de cómo me fue?
Una vez concluido el período de envío de soluciones se publicará una lista de "premiados" en diversas categorías, junto con una tabla con los primeros puestos del certamen (pueden ver la lista de los ganadores del año pasado aquí).
A cada participante se le hará saber en privado cuál fue el puntaje que obtuvo en cada problema.

¿Pueden participar ex-olímpicos?
Sí, pueden.

¿Se puede participar en equipo?
No. La idea es que los problemas se resuelvan individualmente, de manera que el ambiente en que se trabaje sea similar al de la OMA.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
Se pueden consultar apuntes y material de Internet, pero no está permitido utilizar software para pensar problemas.

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Un conjunto finito de enteros positivos se llama aislado si la suma de los elementos de todo subconjunto propio es un número relativamente primo con la suma de los elementos del conjunto. Hallar todos los enteros compuestos $n$ para los cuales existen enteros positivos $a,b$ tales que el conjunto $A=\lbrace (a+b)^2, (a+2b)^2,...,(a+nb)^2\rbrace$ es aislado
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sean $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro, y supongamos que su incrírculo $\gamma$ es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. Sean $X,Y,Z$ puntos interiores de los inradios $ID,IE,IF$ respectivamente. Las perpendiculares desde $B$ y $C$ a $XZ$ y $XY$, respectivamente, se cortan en el punto $P$, interior a $\gamma$. Los segmentos $PA,PB,PC$ cortan a $\gamma$ en $A_0,B_0,C_0$ respectivamente. Sean $S_A,S_B,S_C$ los centros de las circunferencias $PEF,PFD,PDE$ respectivamente, y sean $T_A,T_B,T_C$ los centros de las circunferencias $PB_0C_0,PC_0A_0,PA_0B_0$ respectivamente. Demostrar que las rectas $S_AT_A,S_BT_B,S_CT_C$ son concurrentes.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
Juan tiene ahorros por un total de $\$3564$ en monedas y billetes.
El dinero que tiene en monedas es la sexta parte del total.
Las monedas son de $\$1$ y de $\$2$. Los billetes son de $\$5$ y de $\$20$.
La cantidad de monedas de $\$2$ es igual al cuádruple de la cantidad de monedas de $\$1$.
La cantidad total de monedas es $\frac{2}{3}$ de la cantidad total de billetes.
¿Cuántas monedas de $\$1$ y cuántas monedas de $\$2$ tiene Juan?
¿Cuántos billetes de $\$5$ y cuántos billetes de $\$20$ tiene Juan?
Link al tema.


  • Últimos temas

Rioplatense 2001 Nivel 2 Problema 5


Los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$, en ese orden, pertenecen a una misma recta $r$. Consideramos todas las ternas de circunferencias $\Gamma _1$, $\Gamma _2$ y $\Gamma$ con la propiedad de que $\Gamma _1$ pasa por $A$ y $B$, $\Gamma _2$ pasa por $C$ y $D$, y $\Gamma$ pasa por $B$ y $D$, e interseca a $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$ en los puntos $X$ e $Y$, que están en semiplanos distintos respecto de $r$ y satisfacen que $A\widehat{X}B=C\widehat{Y}D$.

Demostrar que las rectas $XY$ pasan por un punto fijo.

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Rioplatense 2001 Nivel 2 Problema 4


Calcular el valor de la siguiente suma
$$\frac{9}{1+\sqrt{2}}+\frac{10-\lfloor \sqrt{2}\rfloor}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{10-\lfloor \sqrt{3}\rfloor}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+…+\frac{10-\lfloor\sqrt{99}\rfloor}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$
Donde $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de $x$

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Rioplatense 2001 Nivel 2 Problema 3


Dos personas $A$ y $B$ juegan una variante del juego “frío o caliente”: inicialmente $B$ coloca una caja de bombones en algún lugar del plano y solo le informa a $A$ que está a una distancia a lo sumo de $2001$ de la posición inicial de $A$. $A$ es miope y solo puede ver la caja si está a distancia menor o igual que $1$. Su objetivo es hallar la caja en una secuencia de pasos de longitud menor o igual que $1$, que pueden ser en cualquier dirección. Después de cada paso, $A$ puede preguntarle a $B$ “¿frío o caliente?”, y $B$ está obligado a responderle. La respuesta debe ser “caliente” si el punto final del último paso hecho por $A$ está más cerca de la caja que el punto inicial de este último paso, y frío en otro caso.
Demostrar que $A$ puede hallar la caja haciendo a lo sumo $2016$ pasos y preguntando a lo sumo $13$ veces.

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Rioplatense 2001 Nivel 2 Problema 2


Encontrar todos los valores enteros positivos de $m$, $n$ y $p$, con $p$ primo, tales que $$\frac{7^m+2^np}{7^m-2^np}$$sea un entero positivo.

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Rioplatense 2001 Nivel 2 Problema 1


Sea $n$ un entero con $n>1$. Para cada subconjunto no vacío $X$ de $\{1,2,3,\ldots ,n\}$ sean $m_x$ su menor elemento y $M_x$ su mayor elemento.

Sea $A$ la suma de todos los $m_x$.

Sea $B$ la suma de todos los $M_x$.

Probar que $n+1$ divide a $A+B$.

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