OMA Foros

Hola a todos!

Este post está destinado a exolímpicos y docentes que estén interesados en entrenar a participantes de olimpíadas. Con un grupo de exolímpicos notamos la necesidad de tener su contacto, para poder hacer de nexo entre entrenadores y participantes/colegios que estén buscándolos.

Los invito a llenar el siguiente formulario: https://forms.gle/2cuaPJmrnRdAqCeR9

Toda la información que les pedimos tiene como único fin el mencionado y sólo se compartirá entre la comunidad olímpica.

Les pedimos que compartan el formulario con sus conocidos para lograr tener el contacto de la mayor cantidad de gente posible.

Sean $\omega _1$ y $\omega _2$ dos circunferencias que se cortan en $A$ y $B$. Una tercera circunferencia $\omega _3$ corta a $\omega _1$ en $D$ y $E$, y es interiormente tangente a $\omega _2$ en $C$ y es tangente a la recta $AB$ en $F$; además las rectas $DE$ y $AB$ se cortan en $G$. Sea $H$ el simétrico de $F$ respecto de $G$. Calcular la medida del ángulo $\angle HCF$.

Sean $n \geq 2$ un entero y $A$ un conjunto de $n$ puntos del plano. Hallar todos los enteros $k\in \{1,2,\ldots ,n-1\}$ con la siguiente propiedad: cualesquiera dos circunferencias $C_1$ y $C_2$ del plano, con $A\cap \text{Im}(C_1)\neq A\cap \text{Im}(C_2)$ y $|A\cap \text{Im}(C_1)|=|A\cap \text{Im}(C_2)|=k$, tienen al menos un punto en común.

Sea $\Omega$ una semicircunferencia de diámetro $AB$. Una recta paralela a $AB$ corta a la semicircunferencia en $C$ y $D$ de modo que los puntos $B$ y $C$ quedan a lados distintos de la recta $AD$. La recta paralela a $AD$ trazada por $C$ corta nuevamente a $\Omega$ en $E$. Las rectas $BE$ y $CD$ se cortan en $F$ y la paralela a $AD$ trazada por $F$ corta a $AB$ en $P$. Demostrar que la recta $PC$ es tangente a la semicircunferencia $\Omega$.

Demostrar que$$\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geq xyz+\frac{3}{4}|(x-y)(y-z)(z-x)|$$para todos $x,y,z$ números reales positivos.

Determinar todos los enteros positivos $a,b,c,d,e,f$ que satisfacen la siguiente condición: para cualesquiera dos de ellos, $x,y$, dos de los restantes cuatro números, $z,t$, son tales que $\dfrac{x}{y}=\dfrac{z}{t}$.

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