OMA Foros

Problema del día de OMA:
Sea $n$ un entero positivo. Diremos que una sucesión de número enteros $a_1,a_2,\ldots ,a_k$, con $1\leq a_i\leq n$, es suave si existe un entero $m$, con $1\leq m<k$, tal que $a_1=a_{k-m+1},a_2=a_{k-m+2},\ldots ,a_m=a_k$. Además diremos que la sucesión es universal si cada una de la sucesiones que se obtienen al reemplazar $a_k$, por cada uno de los números $1,2,\ldots ,n$ es suave. Para cada $n$ hallar una sucesión universal de longitud mínima.
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Problema del día de Geometría:
En un triángulo acutángulo $ABC, CA \neq CB$, sean $A_1$ y $B_1$ los puntos de tangencia de las circunferencias exinscriptas a $CB$ y $CA$, respectivamente, y $O$ el incentro. La recta $CO$ corta a la circunferencia circunscripta al triángulo $ABC$ en $P$. La recta perpendicular a $CP$ trazada por $P$ corta a la recta $AB$ en $Q$. Demostrar que las rectas $QO$ y $A_1B_1$ son paralelas.
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Problema del día de Ñandú:
Hay $4$ colores: azul, blanco, rojo y verde para pintar cada casilla de la figura de un color. Se pueden usar todos o algunos de los $4$ colores, pero se debe cumplir la condición de que las casillas que tienen un lado común sean de distinto color.
¿De cuántas maneras se puede hacer?
Explica cuáles son.
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