OMA Foros

Problema del día de OMA:
Sea $n\geq 2$ un entero par, y $a, b$ números reales tales que $b^n=3a+1$. Demostrar que el polinomio $P(X)=(X^2+X+1)^n-X^n-a$ es divisible por $Q(X)=X^3+X^2+X+b$ si y sólo si $b=1$.
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Problema del día de Geometría:
Se da un cuadrado de lado $1$. Demostrar que para cada conjunto finito de puntos en el contorno del cuadrado se puede hallar un vértice del cuadrado con la siguiente propiedad: la media aritmética de los cuadrados de las distancias desde dicho vértice a los puntos del conjunto es mayor o igual que $\frac{3}{4}$.
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Problema del día de Ñandú:
En una pista circular hay casillas numeradas del $1$ al $1000$, en orden creciente, en el sentido de las agujas del reloj.
Un grillo pisa la casilla $1$ y salta de $35$ en $35$, pisando la casilla $36$, la $71$ y así siguiendo.
El grillo continúa saltando de este modo, dando vueltas a la pista.
Si realizó $2018$ saltos, ¿cuántas casillas le quedaron sin pisar? Explica cómo las contaste.
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