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Resultados FOFO 14 Años

Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios. En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para el primer puesto (en este caso, el participante que obtuvo al menos 50 puntos) se otorga una Copa Especial, para los siguientes 4 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 42 y 49 puntos) se otorga una Medalla Especial, y para los siguientes 10 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 21 y 41 puntos) se otorga una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!

Spoiler: mostrar: \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{BR1} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{Ignacio Daniele} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{4} & \text{lola.m} &\text{Medalla Especial}\\ \hline
\text{4} & \text{marcoalonzo} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{6} & \text{Ulis7s} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Emily in Paris} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Majamar} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Manuel galli} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{10} & \text{riquelme10xd} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{drynshock} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{rayo5555} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{Luxcas213} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{Esteban Quito} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{magnus} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicitaciones a todos!

¿Existe una función lineal a trozos definida en el intervalo $[-1,\,1]$ tal que $f(f(x)) = -x$ para todo $x$? (Una función es lineal a trozos si su gráfico es la unión de un número finito de puntos y segmentos de recta; puede ser discontinua.)

Un grupo de personas se dividen una herencia. Un heredero se dice pobre si recibe menos de $\$99$ y rico si recibe más de $\$10000$ (puede haber herederos que no sean ni ricos ni pobres). El total de la herencia y el número de herederos son tales que lo que reciben en total los herederos ricos es mayor o igual que lo que reciben en total los pobres, no importa cómo se divida la herencia. Demostrar que lo que reciben en total los herederos ricos es mayor o igual que $100$ veces lo que reciben en total los herederos pobres.

Sean $CA$ y $CB$ dos tangentes a una circunferencia, con $A$ y $B$ los puntos de tangencia. Consideramos un "triángulo" limitado por el menor arco $\overparen{AB}$ y los segmentos $CA$ y $CB$. Demostrar que la longitud de todo segmento interior al triángulo es menor o igual que la longitud de $CA=CB$.

La bisectriz del ángulo $\angle A$ de un triángulo $ABC$ corta a la circunferencia circunscripta en $D$. Sea $P$ el simétrico del incentro del triángulo con respecto al punto medio del lado $BC$ y $M$ la segunda intersección de la recta $PD$ con la circunferencia circunscripta. Demostrar que una de las distancias $AM$, $BM$ y $CM$ es igual a la suma de las otras dos.

En el pizarrón se escriben enteros positivos, uno a continuación del otro. El siguiente entero, $a_{n+1}$, (después de $a_1, a_2,\ldots, a_n$) es un entero arbitrario que no se puede representar como suma de algunos de los anteriores usados una o más veces. (Es decir, $a_{n+1}$ no es de la forma $k_1\cdot a_1+k_2\cdot a_2+\cdots+k_n\cdot a_n$, con $k_1, k_2, \ldots, k_n$ enteros no negativos). Demostrar que el proceso de escritura no puede ser infinito.

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