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Resultados FOFO 14 Años


Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios. En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para el primer puesto (en este caso, el participante que obtuvo al menos 50 puntos) se otorga una Copa Especial, para los siguientes 4 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 42 y 49 puntos) se otorga una Medalla Especial, y para los siguientes 10 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 21 y 41 puntos) se otorga una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!
Spoiler: mostrar
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{BR1} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{Ignacio Daniele} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{4} & \text{lola.m} &\text{Medalla Especial}\\ \hline
\text{4} & \text{marcoalonzo} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{6} & \text{Ulis7s} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Emily in Paris} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Majamar} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Manuel galli} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{10} & \text{riquelme10xd} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{drynshock} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{rayo5555} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{Luxcas213} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{Esteban Quito} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{magnus} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicitaciones a todos!

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Sea $p$ un primo impar y definimos $N=\frac{1}{4}(p^3-p)-1$. Los números $1, 2, …, N$ están coloreados arbitrariamente de dos colores, rojo y azul. Para todo entero positivo $n\leq N$, denotamos $r (n)$ a la fracción de enteros de $\{1, 2, …, n\}$ que son rojos. Demostrar que existe un entero positivo $a\in\{1,2,...,p-1\}$ tal que $r(n)\neq\frac{a}{p}$ para todo $n=1,2,...,N$.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ tal que $60^{\circ} < \angle BAC < 75^{\circ}$ y el ángulo $ACB$ es $60^{\circ}$. Sea $D$ un punto sobre el arco $BA$ donde $\angle ODA = \angle ACO$ y sean $P$ y $M$ los puntos de intersección de la recta $CO$ con los segmentos $AD$ y $AB$ respectivamente. Si $Q$ es un punto sobre el segmento $BC$ tal que $AP = CQ$ y $PQ$ corta a $BO$ en $N$, demuestre que $\frac{OM}{OB} = \frac{ON}{OP}$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
Fede tiene estas cuatro fichas: $\fbox{1}$ $\fbox{3}$ $\fbox{3}$ $\fbox{7}$
Usando todas o algunas de estas fichas, Fede arma y desarma números.
¿Cuántos números distintos puede armar? Explica cómo los contaste.
Link al tema.


  • Últimos temas

Pappus con involuciones


Sean $\ell$ y $\ell'$ dos rectas incidentes en $P$.
Sean $A, B$ y $C$ puntos arbitrarios en $\ell$ distintos entre si, y distintos a $P$, en el orden $A, B, C, P$. Analogamente se definen $D, E$ y $F$ en $\ell'$.
Si $X=BD∩AE, X'=CD∩AF, Y=CE∩BF$. Entonces $X, X'$ e $Y$, están alineados.
Demostración:
Spoiler: mostrar
Sean $Y'=XX'∩AD, Y''=XX'∩BF, Y'''=XX'∩CE, Z=XX'∩AP, Z'=XX'∩DP$.
Por DIT, aplicado a $ABFD$: $(X, X'), (Z, Z'), (Y', Y'')$ son pares de una involución $f$.
Y por DIT, aplicado a $ACED$: $(X, X'), (Z, Z'), (Y', Y''')$ son pares de una involución $g$.
Como una involucion está completamente determinada por dos pares reciprocos, se sigue $f=g$.
$\Rightarrow Y=Y''=Y'''$. $\blacksquare$

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Construcción con regla. Proyectividad


Problema de geometría proyectiva:

Dos rectas por completo fuera del papel están determinadas cada una por dos pares de rectas que se cortan en puntos exteriores al papel. Determínese el punto de intersección por medio de otro par de rectas que pasen por él.



No sé resolverlo. Gracias por vuestra atención.

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IMO 1979 - P1


Sean $a$ y $b$ dos naturales tales que$$\frac{a}{b}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}.$$Demostrar que $a$ es divisible por $1979$.

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Simulacro Nacional OMA 2024


Simulacro Nacional OMA 2024


Bueno, el título ya lo dice todo jaja :ugeek:. La prueba es individual, tienen 3 horas y 30 minutos, se puede usar calculadora y consultar libros y apuntes. Les digo todo esto porque les recomiendo que piensen esta prueba como si fuera la real (¡para algo están los simulacros!), aunque pueden hacer lo que ustedes quieran. Después voy a subir cada problema en un post aparte para que puedan compartir sus soluciones.
Simulacro_Nacional_OMA_2024.pdf

Si encuentran algún error en el PDF avísenme, y si tienen alguna duda de algún enunciado consúltenme acá abajo :D .

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ONEM 2024 Nacional alguina solución?


Alguna solución

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