OMA Foros

FOFO ANIVERSARIO: 14 AÑOS
COSMIC FOFO

OMA Foros cumple 14 años y ya está en edad de OMA! Para festejar que por fin va a conocer a Floricia, vamos a hacer nuevamente una edición de la/el FOFO para todos los olímpicos que transitan por la más bella Olimpíada...

¿Qué es el FOFO?
Es como un falso OFO (y OFO es la competencia online que hacemos durante el verano, también conocido como el falso FOFO).

¿Cuándo se llevará a cabo?
La competencia se llevará a cabo desde el Viernes 11 de Octubre a las 00:00 hs hasta el Domingo 13 de Octubre a las 23:59 hs.

¿Cómo me inscribo?
Comentando en este post "me inscribo" o algo similar.

¿Cómo es el sistema?
Cuando sea la competencia vamos a proponer una cierta cantidad de problemas. Estos problemas se van a publicar el Viernes 11 de Octubre a las 00:00 hs aquí en el foro en un post CERRADO (nadie va a poder responder en el propio post). La solución a cada problema la deberán enviar por mensaje privado a quien figure como autor del post (que además será el encargado de corregir dicha solución). Tendrán tiempo para enviar soluciones hasta el Domingo 13 de Octubre a las 23:59 hs. Se pueden consultar apuntes y material de Internet, pero no está permitido utilizar software para pensar problemas. Recomendamos fuertemente enviar soluciones escritas en $\LaTeX$. Pueden leer aquí como utilizarlo.

¿Cómo es el sistema de corrección?
Los puntajes consisten en un número entero entre 0 y 7.

¿Cómo me entero de cómo me fue?
Una vez concluido el período de envío de soluciones se publicará una lista con los primeros puestos. Los participantes que obtengan mayor puntaje recibirán una medallita especial, y los demás que también tengan un buen desempeño recibirán una mención especial.

¿Pueden participar ex-olímpicos?
No pueden participar ex-olímpicos. Es sólo para actuales participantes de olimpíadas.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
Se pueden consultar apuntes y material de Internet, pero no está permitido utilizar software para pensar problemas. Sí está permitido, y recomendamos fuertemente, incluir en las soluciones a los problemas de geometría figuras de análisis (las cuales pueden hacer utilizando algún software, como Geogebra).

a) Determine el valor mínimo de la expresión$$\sqrt[3]{abc}\left (\frac{1}{b}+ \frac{y}{c}+\frac{1}{ax}\right )$$en función de $x$ e $y$, donde $a,b,c,x,y,z$ son números reales positivos.

b) Sea $M$ el valor mínimo que puede tomar la expresión$$\frac{x}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z}{x^2},$$donde $x,y,z$ son números reales positivos. Determine $M^2$.

La verdad no recuerdo que haya una mención completa de ello en este foro, pero sí lo vi en aops con otro nombre.. así que aquí va

Supongamos que queremos hallar todas las soluciones enteras a la siguiente ecuación:

$$4x -3y + xy = 25$$

¿Un poco complicado, no? Pero si queremos hallar todas las soluciones enteras a la siguiente ecuación:

$$A \cdot B = 37$$

Ahora todo parece fácil (¿me van a decir que no?). Veamos cómo ir de la primer ecuación a la segunda.

Definición: Una expresión linda va a ser una expresión de la forma $Ax + By + Cxy$. Notemos que la $x$ aparece una vez solita, la $y$ también aparece una vez solita, pero luego aparecen multiplicándose de manera molesta.

Por ejemplo, Supongamos que queremos resolver la ecuación $5x + 6y + xy = 30$. Tenemos una expresión linda a la izquierda.
¿Por qué? Porque podemos sacar factor común en los últimos dos términos

\begin{align*}5x + 6y + xy & = 30 \\
5x + y(6+x)& = 30 \end{align*}
¿Y ahora? Bueno, quisiéramos alguien más multiplicado por $(6+x)$, pero sólo tenemos un $5x$.
Si agregamos $30$ de ambos lados, vemos la magia

\begin{align*}5x + y(6+x) & = 30 \\
5x + 30 + y(6+x) &= 30+30 \\
5(6+x) + y(x+6) &= 60\\
(5+y)(6+x) &= 60 \end{align*}

¡Genial! Ahora sólo tenemos que ver cuáles son los divisores de $60$. Para cada divisor $d = 6+x$ tenemos el número $5+y = \frac{60}{d}$.

Apliquemos esto a nuestro problema original.
\begin{align*}4x - 3y + xy & = 25 \\
4x + y (x - 3) &= 25 \\
4x - 12 + y(x-3) &=25+12 \\
(x-3)(4+y) & = 37
\end{align*}

Como $37$ es primo, ¡Sólo hay cuatro soluciones!
$(x-3,y+4) = (1, 37)$,
$(x-3,y+4) = (37, 1)$,
$(x-3,y+4) = (-1, -37)$,
$(x-3,y+4) = (-37, -1)$.

En resumen, podemos ver lo siguiente

La Factorización más Linda del Mundo escribió: Toda ecuación diofántica de la forma $$Ax + By + xy = D$$ se puede transformar en un producto de la forma $$(x+B)(y+A) = N$$ para algún $N$ que depende de nuestra ecuación

Con un poco más de cuentitas, tenemos

La otra Factorización más Linda del Mundo escribió: Toda ecuación diofántica de la forma $$Ax + By + Cxy = D$$ se puede transformar en un producto de la forma $$(ax+b)(cy+d) = N$$ para algún $N$ que depende de nuestra ecuación, con $a,b,c,d \in \mathbb{Q}$

En la suma $$\begin{array}{ccccc}

& & a & b & c \\

+ & & a & b & c \\

\hline

& d & e & f & g

\end{array}$$ Ana reemplazó cada letra por un dígito (letras diferentes corresponden a dígitos diferentes) de modo que la suma resultó correcta. Beto también reemplazó cada letra por un dígito (letras diferentes corresponden a dígitos diferentes) de modo que la suma resultó correcta. Ana obtuvo el mayor valor posible de la suma y Beto obtuvo el menor posible. Hallar los números que obtuvieron Ana y Beto.

En el cuadrado $ABCD$ de lado $2$ sea $M$ el punto medio de $AD$. Se traza desde el vértice $C$ la perpendicular a $BM$ que lo corta en $N$. Calcular el área del triángulo $CMN$.

ACLARACIÓN: Los lados del cuadrado $ABCD$ son $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$.

En el cuadrado $ABCD$ con lados de longitud $2$ sean $M$ el punto medio del lado $CD$ y $N$ en el lado $BC$ tal que $\angle DAM = \angle MAN$. Calcular la longitud del segmento $CN$.

ACLARACIÓN: Los lados del cuadrado $ABCD$ son $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$.

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