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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Versión 1. Sea $n$ un entero positivo, y $N=2^n$. Determinar el menor número real $a_n$ tal que, para todo $x$ real, $$\sqrt[N]{\frac{x^{2N}+1}{2}}\leq a_n(x-1)^2+x.$$ Versión 2. Para todo entero positivo $N$, determinar el menor número real $b_N$ tal que, para todo real $x$, $$\sqrt[N]{\frac{x^{2N}+1}{2}}\leq b_N(x-1)^2+x.$$
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Problema del día de Geometría:
Sean $A,B,C,D$ puntos que no están en un mismo plano tales que $AB\perp CD$ y $AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$.
a) Demostrar que $AC\perp BD$.
b) Demostrar que si $CD<BC<BD$, entonces el ángulo entre los planos $ABC$ y $ADC$ es mayor que $60^\circ$.
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Problema del día de Ñandú:
En un pizarrón está escrito varias veces el número $2019$.$$201920192019201920192019\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots20192019.$$En total hay $1004$ dígitos escritos.
¿Cuál es la menor cantidad de dígitos que se pueden borrar para que la suma de los dígitos que quedan escritos sea $2019$?
¿Qué dígitos hay que borrar? Explica cómo los encontraste.
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  • Últimos temas

Olimpíada de Mayo 2022 N2 P1


En un tablero de $7 \times 7$ algunas casillas están pintadas de rojo. Sea $a$ la cantidad de filas que tienen un número impar de casillas rojas y sea $b$ la cantidad de columnas que tienen un número impar de casillas rojas. Determinar todos los posibles valores de $a+b$.

Para cada valor hallado, dar un ejemplo de cómo puede estar pintado el tablero.

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Intercolegial 2022 N3 P3


Sea $PQRS$ un trapecio de bases $PQ$ y $RS$, con $PQ$ mayor que $RS$, tal que $Q\widehat PS=P\widehat SR=90^\circ$. La perpendicular a la diagonal $QS$ desde $R$ la corta en el punto $T$. Si $PQ=72$, $PS=96$ y $SQ=5\cdot ST$, calcular el área del trapecio.

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Intercolegial 2022 N3 P2


Se distribuyen los $14$ números desde el $2$ hasta el $15$ en dos grupos. Sea $A$ la multiplicación de los números de un grupo y $B$ la multiplicación de los números del otro grupo. Dar una distribución de los $14$ números en dos grupos de modo que la fracción $\dfrac{A}{B}$ se un número entero lo menor posible y calcular su valor.

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Intercolegial 2022 N3 P1


En las figuras se ven dos diagramas realizados con monedas del mismo tamaño. En el primero, cada lado tiene dos monedas en cada uno de los $6$ lados y el segundo tiene $3$ monedas en cada lado. Determinar la cantidad total de monedas que debe tener una figura con $22$ monedas en cada lado.
IMG_20220526_192401.jpg

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Intercolegial 2022 N2 P3


Sea $ABCD$ un rombo con $\widehat A=\widehat C$ mayor que $\widehat B=\widehat D$. Sean $P$ en el lado $AB$ y $Q$ en el lado $AD$ tales que $PCQ$ es un triángulo equilátero de lados iguales a los lados del rombo. Calcular los ángulos del rombo.

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