OMA Foros

Problema del día de OMA:
Versión 1. Sea $n$ un entero positivo, y $N=2^n$. Determinar el menor número real $a_n$ tal que, para todo $x$ real, $$\sqrt[N]{\frac{x^{2N}+1}{2}}\leq a_n(x-1)^2+x.$$ Versión 2. Para todo entero positivo $N$, determinar el menor número real $b_N$ tal que, para todo real $x$, $$\sqrt[N]{\frac{x^{2N}+1}{2}}\leq b_N(x-1)^2+x.$$
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Problema del día de Geometría:
Sean $A,B,C,D$ puntos que no están en un mismo plano tales que $AB\perp CD$ y $AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$.
a) Demostrar que $AC\perp BD$.
b) Demostrar que si $CD<BC<BD$, entonces el ángulo entre los planos $ABC$ y $ADC$ es mayor que $60^\circ$.
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Problema del día de Ñandú:
En un pizarrón está escrito varias veces el número $2019$.$$201920192019201920192019\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots20192019.$$En total hay $1004$ dígitos escritos.
¿Cuál es la menor cantidad de dígitos que se pueden borrar para que la suma de los dígitos que quedan escritos sea $2019$?
¿Qué dígitos hay que borrar? Explica cómo los encontraste.
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