OMA Foros

Sea $S$ el conjunto de todos los reales estrictamente mayores a $-1$. Hallar todas las funciones $f:S\to S$ que cumplen las siguientes dos condiciones:

$f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$, para todos $x,y\in S$.
$\frac{f(x)}{x}$ es estrictamente creciente en cada uno de los intervalos $-1<x<0$ y $0<x$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$. $M$ es el punto medio de $BC$ y $O$ es el punto en $AM$ tal que $OB$ es perpendicular a $AB$. $Q$ es un punto arbitrario en $BC$, diferente de $B$ y de $C$. $E$ y $F$ son puntos sobre $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $E,Q,F$ son colineales y distintos. Demostrar que $OQ$ es perpendicular a $EF$ si y sólo si $QE=QF$.

Hallar todas las parejas $(m,n)$ de enteros positivos tales que$$\frac{n^3+1}{mn-1}$$es entero.

Se tiene un pentágono de papel, $ABCDE$, tal que

$AB=BC=3\text{ cm}$, $CD=DE=5\text{ cm}$, $EA=4\text{ cm}$; $A\widehat BC=100^\circ$, $C\widehat DE=80^\circ$.

Hay que dividir el pentágono en cuatro triángulos, mediante tres cortes rectos, de manera que con los cuatro triángulos se arme un rectángulo, sin huecos ni superposiciones.
(Los triángulos se pueden girar y/o dar vuelta.)

Un tablero de $7\times 7$ tiene una lámpara en cada una de sus $49$ casillas, que puede estar encendida o apagada.

La operación permitida es elegir $3$ casillas consecutivas de una fila o de una columna que tengan dos lámparas vecinas entre sí encendidas y la otra apagada, y cambiar el estado de las tres. Es decir

Mayo2007N1P4.png

Dar una configuración de exactamente $8$ lámparas encendidas ubicadas en las primeras $4$ filas del tablero tales que, mediante una sucesión de operaciones permitidas, se llegue a tener una única lámpara encendida en el tablero y que ésta esté ubicada en la última fila. Mostrar la secuencia de operaciones que se utilizan para lograr el objetivo.

OMA Foros

IMO 1994 Problema 5

IMO 1994 Problema 2

IMO 1994 Problema 4

Olimpíada de Mayo - 2007 - N1P5

Olimpíada de Mayo - 2007 - N1P4