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OMA Foros Open 2025

Vuelve el clásico del verano de OMA Foros, en su décima edición!

¿Qué es el OFO?
El OFO (OMA Foros Open) consistirá en una competencia online ABIERTA para todos los usuarios de OMA Foros que deseen participar.

¿Cuándo se llevará a cabo?
El Certamen se llevará a cabo a partir de las 00:00 hs del día viernes 31 de enero de 2025, y concluirá a las 23:59 hs del día domingo 9 de febrero de 2025.

¿Cómo me inscribo?
La inscripción está abierta hasta las 23:59 hs del día jueves 30 de enero de 2025. Para inscribirse, el usuario interesado deberá comentar en este thread "me inscribo" o algo similar.

¿Cómo es la competencia?
Algunos integrantes del equipo de OMAForos vamos a proponer varios problemas, de dificultades y temas variados. Estos problemas se van a publicar aquí en el foro en un post CERRADO (nadie va a poder responder en el propio post). La solución a cada problema la deberán enviar por mensaje privado a quien figure como autor del post (que además será el encargado de corregir dicha solución) hasta las 23:59 hs del día domingo 9 de febrero de 2025. Recomendamos fuertemente enviar soluciones escritas en $\LaTeX$. Pueden leer aquí como utilizarlo.

¿Cómo es el sistema de corrección?
A la solución de cada problema se le asignará un puntaje entero del 0 al 7.

¿Cómo me entero de cómo me fue?
Una vez concluido el período de envío de soluciones se publicará una lista de "premiados" en diversas categorías, junto con una tabla con los primeros puestos del certamen (pueden ver la lista de los ganadores del año pasado aquí).
A cada participante se le hará saber en privado cuál fue el puntaje que obtuvo en cada problema.

¿Pueden participar ex-olímpicos?
Sí, pueden.

¿Se puede participar en equipo?
No. La idea es que los problemas se resuelvan individualmente, de manera que el ambiente en que se trabaje sea similar al de la OMA.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
Se pueden consultar apuntes y material de Internet, pero no está permitido utilizar software para pensar problemas.

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Supongamos que un camión es una pieza de $1\times (k+1)$. Una playa de estacionamiento es un tablero de $(2k+1)\times (2k+1)$ y hay $t$ camiones estacionados en esta playa. Los camiones verticales solo se pueden mover en dirección vertical (en su columna) y los camiones horizontales solo se pueden mover dirección horizontal (en su fila). Un nuevo camión quiere ingresar a la playa de estacionamiento (solo puede ingresar por el borde de la playa).
1. Para $3k+1<t<4k$, demostrar que podemos mover otros camiones hacia adelante o hacia atrás de modo que el nuevo camión pueda ingresar totalmente a la playa de estacionamiento.
2. Demostrar que lo enunciado en 1. no es necesariamente cierto para $t=3k+1$.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Son dadas tres circunferencias, cada una exterior a las otras dos, con la propiedad de que toda recta que separa a dos de ellas tiene puntos en el interior de la tercera. Demostrar que la suma de las tres distancias entre sus centros es menor o igual que $2 \sqrt{2}$ veces la suma de sus tres radios. (Una recta separa dos circunferencias si tiene intersección vacía con cada una de ellas y éstas están en semiplanos distintos respecto de la recta.)
Nota. Resultados más débiles, en los que se reemplaza $2 \sqrt{2}$ por una constante $c$, pueden merecer puntos, depende cuál sea la constante $c > 2 \sqrt{2}$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
$ABCD$ es un rectángulo,
$AB=3BC$;
$M$ es punto medio de $AB$;
$N$ es punto medio de $AD$;
$P$ es punto medio de $CD$;
$O$ es el punto medio del segmento $MP$.
El perímetro de $AMPD$ es de $80\text{ cm}$.
¿Cuál es el perímetro de $AMON$?
¿Cuál es el área de $BCPO$?

ZonalN3P2.PNG

Link al tema.


  • Últimos temas

El Juego del Calamar


(Quinto Juego) Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Los $n$ jugadores sobrevivientes se acercan lentamente escoltados por uno de los soldados vestidos de rosa. Frente a ellos, se encuentra un puente conformado por $2k$ paneles de vidrio distribuidos en una grilla de $k$ filas y $2$ columnas. El soldado anuncia que cada uno de esos paneles es frágil o resistente. Sin embargo, todos los paneles son de igual apariencia. Además, se da a conocer que hay exactamente un panel frágil en cada fila.

Cada jugador, en su turno, debe saltar de fila en fila (pisando un panel en cada una de ellas) hasta que pise un panel frágil, el cual se romperá haciéndolo caer al vacío (inevitablemente matándolo), o llegue sano y salvo al otro lado. Los paneles resistentes pueden soportar cualquier peso.

Los jugadores se numeran del $1$ al $n$, de modo que el turno del jugador $j+1$ comenzará una vez que el turno del jugador $j$ haya terminado. Gi-hun, el protagonista, tiene mucha suerte y obtiene el número $n$.

Supongamos que todos los jugadores tienen excelente memoria, es decir, ninguno de ellos pisará un panel que sabe que es frágil. Además, nadie intentará empujar a otro o se tropezará. Calcular, en función de $n$ y $k$, la probabilidad de que Gi-hun sobreviva este juego.

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Un paralelogramo y varios angulitos


Sea $O$ un punto en el interior de un paralelogramo $ABCD$ tal que $\angle AOB + \angle COD = 180^\circ$. Demostrar que $\angle OBC = \angle ODC$.

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IGO 2014 - Nivel Avanzado - Problema 5


Dos puntos $P$ y $Q$ están en el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ y sus distancias hasta el punto medio de $BC$ es igual. Las perpendiculares desde $P$ y $Q$ hacia $BC$ intersecan a $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$, respectivamente. $M$ es el punto de intersección de $PF$ y $EQ$. Si $H_1$ y $H_2$ son los ortocentros de los triángulos $BFP$ y $CEQ$, respectivamente, demostrar que $AM \perp H_1H_2$.

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IGO 2014 - Nivel Avanzado - Problema 4


Una recta tangente al circuncírculo del triángulo acutángulo $ABC$ ($AC>AB$) en $A$ interseca a la prolongación de $BC$ en $P$. $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$. El punto $X$ en $OP$ es tal que $\angle AXP=90^\circ$. Los puntos $E$ y $F$ en $AB$ y $AC$, respectivamente, y ambos están del mismo lado con respecto a la recta $OP$ tal que $\angle EXP=\angle ACX$ y $\angle FXO=\angle ABX$.

$K,L$ son los puntos de intersección de $EF$ con el circuncírculo del triángulo $ABC$. Demostrar que $OP$ es tangente al circuncírculo de $KLX$.

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IGO 2014 - Nivel Avanzado - Problema 3


Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Una circunferencia de diámetro $BC$ interseca a $AB$ y a $AC$ en $E$ y $F$, respectivamente. $M$ es el punto medio de $BC$, y $P$ es el punto de intersección de $AM$ y $EF$. $X$ es un punto arbitrario en el arco $EF$ e $Y$ es el segundo punto de intersección de $XP$ con la circunferencia de diámetro $BC$. Demostrar que $\angle XAY=\angle XYM$.

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