OMA Foros

Hola a todos!

Este post está destinado a exolímpicos y docentes que estén interesados en entrenar a participantes de olimpíadas. Con un grupo de exolímpicos notamos la necesidad de tener su contacto, para poder hacer de nexo entre entrenadores y participantes/colegios que estén buscándolos.

Los invito a llenar el siguiente formulario: https://forms.gle/2cuaPJmrnRdAqCeR9

Toda la información que les pedimos tiene como único fin el mencionado y sólo se compartirá entre la comunidad olímpica.

Les pedimos que compartan el formulario con sus conocidos para lograr tener el contacto de la mayor cantidad de gente posible.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos Una funcion $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ se llama genial si
$$f(a) \; \text{ divide a } \; b^a - f(b)^{f(a)}$$
para todos los enteros positivos $a$ y $b$.

Determine la menor constante real $c$ tal que $f(n) \leq cn$ para todas las funciones geniales $f$ y todos los enteros positivos $n$.

Sean $\Omega$ y $\Gamma$ circunferencias de centros $M$ y $N$, respectivamente, tales que el radio de $\Omega$ es menor que el radio de $\Gamma$. Supongamos que las circunferencias $\Omega$ y $\Gamma$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. La recta $MN$ corta a $\Omega$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$, de forma que los puntos $C$, $M$, $N$ y $D$ están sobre esa recta en ese orden. Sea $P$ el circuncentro del triángulo $ACD$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Omega$ en $E \neq A$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $F \neq A$. Sea $H$ el ortocentro del triangulo $PMN$.

Demuestre que la recta paralela a $AP$ que pasa por $H$ es tangente al circuncírculo de del triángulo $BEF$.

(El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de sus alturas.)

Una recta del plano se llama soleada si no es paralela ni al eje $x$, ni al eje $y$, ni a la recta $x+y=0$.

Sea $n \geq 3$ un entero dado. Determine todos los enteros no negativos $k$ para los que existen $n$ rectas distintas del plano que satisfacen las dos condiciones siguientes:

Para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$ con $a+b \leq n+1$, el punto $(a,b)$ está en al menos una de estas rectas; y
Exactamente $k$ de estas $n$ rectas son soleadas.

Determine si existe un número $N$ de $100$ dígitos que cumpla las siguientes propiedades:

$\star$ $N$ es divisible por cada uno de sus dígitos.

$\star$ Al sumar cualesquiera dos o más dígitos de $N$, se obtiene como resultado un divisor de $N$.

Sea $\Omega$ el circuncírculo y $\omega$ el incírculo de un triángulo acutángulo $ABC$ con incentro $I$. Sean las reflexiones de $BC$ sobre $AI$, $BI$, $CI$ los puntos $X$, $Y$, $Z$ respectivamente. Sean $AB$, $AC$ cortadas por $\omega$ en $F$, $E$ respectivamente y sea $IZ$ cortando a $\omega$ nuevamente en $W$. Supón que $WX$, $WY$, $WZ$ cortan a $\Omega$ en $K$, $L$, $J$ respectivamente y que $Q$ es un punto tal que $IP \perp AJ$ y $IQ \perp BL$.

Demuestra que el eje radical de $(BXL)$ y $(CYK)$ contiene la intersección de las rectas $BP$ y $CQ$.

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