OMA Foros

Hola a todos!

Este post está destinado a exolímpicos y docentes que estén interesados en entrenar a participantes de olimpíadas. Con un grupo de exolímpicos notamos la necesidad de tener su contacto, para poder hacer de nexo entre entrenadores y participantes/colegios que estén buscándolos.

Los invito a llenar el siguiente formulario: https://forms.gle/2cuaPJmrnRdAqCeR9

Toda la información que les pedimos tiene como único fin el mencionado y sólo se compartirá entre la comunidad olímpica.

Les pedimos que compartan el formulario con sus conocidos para lograr tener el contacto de la mayor cantidad de gente posible.

Determine si existe un número $N$ de $100$ dígitos que cumpla las siguientes propiedades:

$\star$ $N$ es divisible por cada uno de sus dígitos.

$\star$ Al sumar cualesquiera dos o más dígitos de $N$, se obtiene como resultado un divisor de $N$.

Sea $\Omega$ el circuncírculo y $\omega$ el incírculo de un triángulo acutángulo $ABC$ con incentro $I$. Sean las reflexiones de $BC$ sobre $AI$, $BI$, $CI$ los puntos $X$, $Y$, $Z$ respectivamente. Sean $AB$, $AC$ cortadas por $\omega$ en $F$, $E$ respectivamente y sea $IZ$ cortando a $\omega$ nuevamente en $W$. Supón que $WX$, $WY$, $WZ$ cortan a $\Omega$ en $K$, $L$, $J$ respectivamente y que $Q$ es un punto tal que $IP \perp AJ$ y $IQ \perp BL$.

Demuestra que el eje radical de $(BXL)$ y $(CYK)$ contiene la intersección de las rectas $BP$ y $CQ$.

Sea $ABCD$ un paralelogramo y $E$ un punto sobre $AD$ tal que $\angle ABE = \angle DBC$. Sean $O_A$ y $O_C$ los circuncentros de los triángulos $\triangle ABE$ y $\triangle DBC$ respectivamente. Las rectas $AO_C$ y $CO_A$ se cortan en $K$.

Demuestra que $DC \perp BK$.

Dado un triángulo $ABC$ con circuncentro $O$, sean $\ell_B$, $\ell_C$ las rectas perpendiculares a $AB$, $AC$ respectivamente. Supón que las reflexiones de $\ell_B$, $\ell_C$ sobre $BC$ se encuentran con $OC$, $OB$ en $K$, $L$ respectivamente.

Demuestra que si los circuncírculos de los triángulos $\triangle BOC$ y $\triangle \angle KOL$ se cortan en un punto $G$, entonces $\angle AGO = 90^\circ$.

Dado un conjunto $S$ de $n \geq 3$ puntos en posición general. Define el conjunto $T$ como el conjunto de círculos tal que para cada círculo $C$ en $T$, se cumplan las siguientes propiedades:

$C$ pasa por al menos tres puntos de $S$.

Para cada $P \in S$, $P$ está sobre o dentro de $C$.

Encuentra la máxima cardinalidad de $T$.

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Lindo problema de dígitos

P3 3er AGO categoria IMO/RMM

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