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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
En una competencia de matemáticas se propusieron $6$ problemas a los estudiantes. Cada par de problemas fue resuelto por más de $\frac{2}{5}$ de los estudiantes. Nadie resolvió los $6$ problemas. Demuestre que hay al menos $2$ estudiantes tales que cada uno tiene exactamente $5$ problemas resueltos.
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Problema del día de Geometría:
El incírculo del triángulo $ABC$ (con centro en $I$) es tangente a $CA$ y a $AB$ en $E$ y $F$, respectivamente, sean los puntos $M$ y $N$ en la recta $EF$ tales que $CM=CE$ y $BN=BF$, las rectas $BM$ y $CN$ se cortan en el punto $P$, probar que la recta $PI$ biseca al segmento $MN$.
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Problema del día de Ñandú:
En el Súper, Esteban compra pescado fresco, lácteos y productos congelados.
Esteban calcula que en productos congelados gasta el doble que en lácteos y que en total debe pagar $\$271$.
Cuando llega a la caja sólo le cobran $\$249,15$ porque hay un descuento del $5\%$ en lácteos y un descuento del $15\%$ en pescado fresco.
Sin los descuentos, ¿cuánto pagaría por el pescado fresco y cuánto por los lácteos?
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  • Últimos temas

APMO 2021 Problema 4


Dado un tablero de $32\times 32$ colocamos un ratón (mirando hacia arriba) en la celda inferior izquierda y un trozo de queso en varias otras celdas. El ratón comienza a moverse. Avanza hacia adelante excepto que cuando llega a un trozo de queso, se come una parte, gira hacia la derecha, y sigue avanzando. Decimos que un subconjunto de celdas que contienen queso es bueno si, durante este proceso, el ratón prueba cada trozo de queso exactamente una vez y luego se sale del tablero. Demostrar que:

$\text{(a)}$ Ningún subconjunto bueno consta de $888$ celdas.

$\text{(b)}$ Existe un subconjunto bueno que consta de al menos $666$ celdas.

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APMO 2021 Problema 5


Determine todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tales que $f(f(a)-b)+bf(2a)$ es un cuadrado perfecto para todos los números enteros $a$ y $b$.

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APMO 2021 Problema 2


Para un polinomio $P$ y un entero positivo $n$, se define $P_n$ como el número de pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que $a<b\leq n$ y $|P(a)|-|P(b)|$ es divisible por $n$. Determine todos los polinomios $P$ ​​con coeficientes enteros tales que $P_n\leq 2021$ para todo entero positivo $n$.

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APMO 2021 Problema 1


Demuestre que para cada número real $r>2$, hay exactamente dos o tres números reales positivos $x$ que satisfacen la ecuación $x^2=r\lfloor x\rfloor$.

Nota: $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$.

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APMO 2021 Problema 3


Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cíclico y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $E$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$, sea $L$ el centro de la circunferencia tangente a los lados $AB$, $BC$ y $CD$, y sea $M$ el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$ ni a $D$. Demuestre que el excentro del triángulo $BCE$ opuesto a $E$ se encuentra en la recta $LM$.

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