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Dado un entero positivo $a$, demostrar que $n!$ es divisible por $n^2+n+a$ para infinitos enteros positivos $n$.

En un triángulo acutángulo $ABC, CA \neq CB$, sean $A_1$ y $B_1$ los puntos de tangencia de las circunferencias exinscriptas a $CB$ y $CA$, respectivamente, y $O$ el incentro. La recta $CO$ corta a la circunferencia circunscripta al triángulo $ABC$ en $P$. La recta perpendicular a $CP$ trazada por $P$ corta a la recta $AB$ en $Q$. Demostrar que las rectas $QO$ y $A_1B_1$ son paralelas.

Sean $M$ y $N$ puntos del lado $AB$ del triángulo $ABC$, con $M$ entre $A$ y $N$. La paralela a $AC$ por $M$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $MNC$ en $P$ y la paralela a $NC$ por $M$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $AMC$ en $Q$. Análogamente, la paralela a $BC$ por $N$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $MNC$ en $K$ y la paralela a $MC$ por $N$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $BNC$ en $L$.

Demostrar que $P$, $Q$ y $C$ son colineales.
Demostrar que $P$, $Q$, $K$ y $L$ son concíclicos si y sólo si $AM=BN$.

Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos distintos de la misma paridad. Demostrar que $\displaystyle\frac{a!+b!}{2^a}$ no es un entero.

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular de lado $2$. Por los vértices y los puntos medios de los lados se construyen paralelas a los lados que dividen al hexágono en $24$ triángulos equiláteros congruentes, cuyos vértices denominamos nodos. Una hoja es cualquier triángulo equilátero (no degenerado) cuyos vértices son nodos. Un trío de un nodo $X$ es la figura formada por tres hojas adyacentes tales que su intersección es solo $X$ y no hay dos que sean congruentes.

Hallar el área máxima posible de un trío.
Demostrar que existe un nodo cuyos tríos pueden cubrir todo el hexágono, y un nodo cuyos tríos no pueden cubrir todo el hexágono.
Determinar el número total de tríos asociados al hexágono.

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