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Sea $a$ un número real positivo. Demostrar que no existen números reales $b$ y $c$, con $b < c$, tales que $\bigg|\displaystyle\frac{x+y}{x-y}\bigg| \leq a$ para todos $x, y \in (b, c), x \neq y$.

Determinar todos los enteros $n \geq 2$ que tienen al menos cuatro divisores positivos, con la propiedad de que para todos sus divisores distintos $d_1$ y $d_2$ de $n$ tales que $1 < d_1 < d_2 <n$ el número $d_2-d_1$ también es un divisor de $n$.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ tal que $60^{\circ} < \angle BAC < 75^{\circ}$ y el ángulo $ACB$ es $60^{\circ}$. Sea $D$ un punto sobre el arco $BA$ donde $\angle ODA = \angle ACO$ y sean $P$ y $M$ los puntos de intersección de la recta $CO$ con los segmentos $AD$ y $AB$ respectivamente. Si $Q$ es un punto sobre el segmento $BC$ tal que $AP = CQ$ y $PQ$ corta a $BO$ en $N$, demuestre que $\frac{OM}{OB} = \frac{ON}{OP}$.

Consideramos un arreglo de $4 \times 4$ de enteros positivos distintos dos a dos tales que en cada columna, respectivamente fila, uno de los números es igual a la suma de los otros tres. Determinar el menor valor posible del mayor de los números que puede tener un tal arreglo.

Sea $c$ un entero positivo fijo. La sucesión $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ de enteros positivos satisface $a_n < a_{n+1} < a_n+c$ para todo $n \geq 1$. Al escribir los términos de la sucesión consecutivamente se obtiene una tira infinita de dígitos. Demostrar que para todo entero positivo $m$ existe $k$ tal que el número formado por los $k$ primeros dígitos de la tira es divisible por $m$.

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Entrenamiento Cono e Ibero 2024 - Problema 66

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