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En el triángulo $ABC$ sea $H$ en el interior del lado $AB$ tal que $CH \perp AB$. Los centros de las circunferencias inscritas en los triángulos $AHC$ y $BHC$ son $P$ y $Q$, respectivamente. Probar que el cuadrilátero $ABPQ$ es inscriptible si y sólo si $AC = BC$ o $\angle ACB = 90^{\circ}$

Cuatro personas, $A_1, A_2, A_3, A_4$ juegan al siguiente juego con siete dados: $A_1$ arroja siete dados y le paga a cada uno de los otros tres jugadores $\frac{1}{k}$ del dinero que el correspondiente jugador tiene en ese momento, donde $k$ es la suma de los puntos de los siete dados. A continuación $A_2, A_3$ y $A_4$ hacen lo mismo. Al comienzo, todos los jugadores tienen la misma cantidad de dinero y luego de que todos jugaron una vez su dinero está en la proporción $3:3:2:2$. Determinar las sumas de los puntos de cada jugador.

Sea $M\geq 1$ un número real. Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen números reales $a,b,c>M$ distintos dos a dos tales que$$n=(a,b)\cdot (b,c)+(b,c)\cdot (c,a)+(c,a)\cdot (a,b).$$(Aquí $(x,y)$ designa al máximo común divisor de los números enteros positivos $x,y$.)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle B > \angle C$. Consideramos los puntos $D, E, J, K, S$ en su circuncírculo $C(O)$ tales que $A, E, J, K$ están del mismo lado de la recta $BC$, y el diámetro $DE$ y la recta $BC$ son perpendiculares, $S \in \widehat{EK}$ y $\widehat{AE} = \widehat{BJ} = \widehat{CK} = \frac{1}{4}\widehat{CE}$.

Sean $F, M, P, Q$ los puntos de intersección de las rectas $AC$ y $DE$, $BK$ y $AD$, $BK$ y $AC$, $CJ$ y $BF$ respectivamente. Si $S\hat{M}K = 30^{\circ}$ y $A\hat{Q}P = 90^{\circ}$, demostrar que la recta $MS$ es tangente al circuncírculo del triángulo $AOF$.

Sea $N>1$ un entero. Una agencia de $N^3$ espías decide formar clanes para conspirar. Cada clan consta de $N^2$ espías y cada espía puede estar en varios clanes. Se sabe que para cada grupo de $N+1$ espías, hay exactamente un clan al que todos pertenecen. Determinar todos los valores de $N$ para los que esto es posible.

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