OMA Foros

Hola a todos!

Este post está destinado a exolímpicos y docentes que estén interesados en entrenar a participantes de olimpíadas. Con un grupo de exolímpicos notamos la necesidad de tener su contacto, para poder hacer de nexo entre entrenadores y participantes/colegios que estén buscándolos.

Los invito a llenar el siguiente formulario: https://forms.gle/2cuaPJmrnRdAqCeR9

Toda la información que les pedimos tiene como único fin el mencionado y sólo se compartirá entre la comunidad olímpica.

Les pedimos que compartan el formulario con sus conocidos para lograr tener el contacto de la mayor cantidad de gente posible.

Sean $n\geq 3$ un entero y $(a_1,a_2,\ldots ,a_n)$ números reales positivos distintos dos a dos con la propiedad de que existe una permutación $(b_1,b_2,\ldots ,b_n)$ de esos números tal que$$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots =\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\neq 1.$$Demostrar que existen $a,b>0$ tales que $\{a_1,a_2,\ldots ,a_n\}=\{ab,ab^2,\ldots ,ab^n\}$.

Sean $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y $\omega$ su circuncírculo. La tangente por $A$ a la circunferencia $\omega$ corta a la recta $BC$ en $D$, y la paralela a $AD$, trazada por $B$, corta de nuevo la circunferencia $\omega$ en $E$. La recta $DE$ corta a $AB$ en $F$ y a la circunferencia $\omega$ por segunda vez en $G$. Sobre la recta $BE$, consideramos un punto $N$ tal que $B,G,F,N$ son cíclicos. Sean $S$ y $T$ los puntos de intersección de la recta $FN$ con $AD$ y $AE$, respectivamente. Demostrar que $STDG$ es un cuadrilátero cíclico.

En una fiesta hay $25$ personas que satisfacen la siguiente condición: siempre que dos de ellas no se conocen, ellas tienen un amigo en común. Sabiendo que nadie conoce a todas las demás personas de la fiesta, demostrar que la suma de las cantidades de amigos de todas las personas de la fiesta es mayor o igual que $72$.

Nota: Conocerse es una relación simétrica, es decir, si $A$ conoce a $B$, entonces $B$ conoce a $A$.

Consideramos un tablero de $n\times n$ dividido en cuadrados unitarios que se han coloreado, al azar, de blanco o de negro. Tres de los cuatro cuadrados de las esquinas son blancos y el cuarto es negro. Demostrar que existe un subtablero de $2\times 2$ que contiene un número impar de cuadrados blancos.

Para cada entero positivo $x$ sea $\sigma (x)$ la suma de sus divisores positivos y $\tau (x)$ la cantidad de divisores positivos de $x$. Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $\sigma (\tau (n))=n$.

OMA Foros

Ver último mensaje sin leer ¿Te interesa entrenar olímpicos?

Entrenamiento Cono 2025 P23

Entrenamiento Cono 2025 P22

Entrenamiento Cono 2025 P21

Entrenamiento Cono 2025 P20

Entrenamiento Cono 2025 P19