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En un triángulo acutángulo $ABC$ de incentro $I$ y circuncentro $O$, sea $D$ el pie de la altura desde $A$. El circuncírculo de $BIC$ interseca en el interior de $ABC$ a las rectas $AD$ y $AO$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente, y la circunferencia de diámetro $AP$ interseca nuevamente a $AC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. Sean $X,Y,Z$ puntos sobre las rectas $BC,CA,AB$ respectivamente tales que $XD=DQ$, $YE=EQ$ y $ZF=FQ$. Pruebe que $P$ es el circuncentro de $XYZ$.

Consideremos un tablero de $n$ filas y $m$ columnas ($n,m\in \mathbb{N}$, $n,m\geq 2$) que consiste de $n\cdot m$ cuadrados de $1\times 1$ que llamaremos casillas. Llamaremos serpiente a una sucesión de casillas con las siguientes propiedades: la primera casilla está ubicada en la primera fila del tablero, contando desde arriba, y a partir de la segunda casilla, cada casilla de la serpiente tiene un lado en común con la casilla que la precede y no está ubicada en la fila que esta por encima de la casilla precede. La longitud de una serpiente es el número de casillas que forman la serpiente. Determinar la media aritmética de las longitudes de todas las serpientes del tablero.

Hallar el mayor valor posible de la expresión$$\frac{a+b-c}{a^3+b^3+abc}+\frac{b+c-a}{b^3+c^3+abc}+\frac{c+a-b}{c^3+a^3+abc},$$donde $a,b,c$ son números reales positivos tales que $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.

Sean $n \in \mathbb N, n \geq 2$ y tres conjuntos de números reales $A, B, C$ disjuntos dos a dos, cada uno con $n$ elementos. Sea $a$ el número de tríos $(x, y, z) \in A\times B \times C$ para los cuales $x<y<z$ y sea $b$ el número de tríos $(x, y, z) \in A \times B \times C$ para los cuales $x > y > z$. Probar que $a-b$ es divisible por $n$.

Sea $n$ un entero positivo. Consideremos un conjunto $S$ de $n$ puntos del plano. Un conjunto elegible es un conjunto no vacío de la forma $S \cap D$, donde $D$ es un círculo del plano. En función de $n$, determinar el menor número posible de subconjuntos elegibles que puede contener $S$.

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Entrenamiento Cono e Ibero 2024 - Problema 76

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