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Sea $f(n) = an^2+n$. Demuestre que el conjunto de restos que deja $f(n)$ al dividir por $m$ es completo (es decir, contiene todos los restos de $0$ a $m-1$) si y solo si $m$ tiene la forma $p_1^{a_1}.p_2^{a_2}.\dots .p_k^{a_k}$ donde $p_{1}, p_2, \dots, p_{k}$ son los divisores primos de $a\neq 0$ y $a_1, a_2, \dots, a_k$ son números enteros no negativos.

Encuentre todas las sucesiones $a_1, a_2, a_3, \dots$ de números enteros que satisfagan las siguientes condiciones:

Existen números enteros $c$ y $d$ tales que $a_n + a_{n+1} = (cn+d)^2$ para cada entero positivo $n$.
Para cualquier número entero $k>2023$ hay $a_i$ y $a_j$ tales que $k = a_i - a_j$.

Un cierto sistema de dibujo en computación utiliza triplas ordenadas como código para distinguir los colores, con las siguientes condiciones:

Los tres números son enteros mayores que $0$ y menores que una constante $M$ dada ($M>1$).
Si las proporciones entre los tres números son iguales para dos códigos, entonces esos códigos representan el mismo color. Por ejemplo, los códigos $(45, 30, 18)$ y $(60, 40, 24)$ representan el mismo color, ya que $\frac{60}{45} = \frac{40}{30} = \frac{24}{18}$, pero los códigos $(1, 2, 3)$ y $(7, 14, 28)$ no representan el mismo color porque $\frac{7}{1} \neq \frac{18}{3}$

¿Cuántos colores nuevos se obtienen al cambiar la cota $M$ por $M+1$?

La compañía de seguridad El Osito Vigilante tiene a su cargo la supervisión de una región con forma de círculo. La compañía instala casetas dentro del círculo, y asigna un vigilante dentro de cada caseta. Debido al corto presupuesto de la empresa, el equipo de vigilancia tiene un problema: Cada vigilante sólo puede tener una visión clara de los puntos que están más cerca de su caseta que de cualquier otra. Sin embargo, como el personal está muy bien entrenado, si algo pasa a una distancia menor o igual que $d$ de una caseta, el vigilante de esa caseta puede "ver" que algo pasó, pero no identificarlo. Como ya se indicó, la compañía no está bien de recursos y dos vigilantes pueden hablar si y sólo si las regiones que pueden observar con claridad con sus equipos tiene una frontera común. Demostrar que si un vigilante $v_1$ ve algo, puede encontrar una sucesión de vigilantes $v_1, v_2, \dots, v_k$ tales que las siguientes condiciones se cumplen simultáneamente:

Cada uno de los vigilante ve algo.
$v_i$ y $v_{i+1}$ pueden hablar entre ellos.
$v_k$ puede confirmar que es exactamente el evento observado por los otros.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $P$, las diagonales $AE$ y $DF$ se cortan en $Q$, y la recta $PQ$ corta a los lados $BC$ y $EF$ en $X$ e $Y$ respectivamente. Demostrar que la longitud del segmento $XY$ es menor o igual que la suma de las longitudes de una de las diagonales por $P$ y una de las diagonales por $Q$.

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