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Ver último mensaje sin leer Encuesta: : ¡Concluyó la FOFO de Pascua 2022!


¡Concluyó la FOFO de Pascua 2022!



Ya se encuentran abierto los threads de los problemas. Próximamente vamos a publicar las soluciones oficiales allí. Mientras tanto, pueden aprovechar para contar qué hicieron en cada problema, o a qué resultados llegaron.
En el transcurso de estos días vamos a mandar por Mensaje Privado las devoluciones de cada una de sus soluciones, con el correspondiente puntaje.
Los resultados finales de la FOFO de Pascua 2022 van a estar pronto. Consultas al respecto háganlas aquí.
Ya está disponible la encuesta para votar sus problemas preferidos.

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Hallar todas las parejas $(a,b)$ de números enteros positivos tales que $a^3$ es múltiplo de $b^2$ y $b-1$ es múltiplo de $a-1$.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Se tiene un cuadrilátero circunscrito $ABCD$ de incentro $I$ tal que su circunferencia inscrita es tangente a los lados $AD$, $DC$, $CB$, $BA$ en $K$, $L$, $M$, $N$. Las rectas $AD$ y $BC$ se cortan en $E$ y las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $F$. La recta $KM$ corta a $AB$ y $CD$ en $X$ e $Y$ respectivamente. La recta $LN$ corta a $AD$ y $BC$ en $Z$ y $T$ respectivamente. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo $XFY$ y la circunferencia de diámetro $EI$ son tangentes si y sólo si la circunferencia circunscrita del triángulo $TEZ$ y la circunferencia de diámetro $FI$ son tangentes.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En un tablero de $4\times 4$, Pablo quiere colocar una ficha roja y una ficha azul de modo que:
  • En una casilla no puede haber más de una ficha
  • Las fichas no pueden estar en casillas que tienen un lado o un vértice en común.
¿De cuántas maneras distintas puede colocar las $2$ fichas en el tablero? Explica cómo las contaste.$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline & & & \\
\hline & & & \\
\hline & & & \\
\hline
\end{array}$$
Link al tema.


  • Últimos temas

APMO 2022 P5


Sean $a,b,c,d$ números reales tales que $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Determinar el valor mínimo de $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)$ y determinar todos los valores de $(a,b,c,d)$ para los que se alcanza dicho mínimo.

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APMO 2022 P4


Sean $n$ y $k$ números enteros positivos. Ceci juega al siguiente juego. Hay $n$ piedras y $k$ cajas, con las piedras numeradas de $1$ a $n$. Inicialmente, todas las piedras están en una sola caja. En cada turno, Ceci elige una caja y traslada la piedra con el número más bajo de esa caja, digamos $i$, o bien a cualquier caja vacía o bien a la caja que contiene la piedra $i+1$. Ceci gana si en algún momento del juego hay una caja que sólo contiene la piedra $n$.

Determinar todas las parejas de enteros $(n,k)$ con las que Ceci puede ganar el juego.

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APMO 2022 P3


Hallar todos los números enteros positivos $k<202$ para los que existe un número entero positivo $n$ tal que$$\left \{\frac{n}{202}\right \}+\left \{\frac{2n}{202}\right \}+\cdots +\left \{\frac{kn}{202}\right \}=\frac{k}{2},$$donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria (o mantisa) de $x$.

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APMO 2022 P2


Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\widehat B=90^\circ$. Sea $D$ un punto de la recta $BC$ tal que $B$ está entre $D$ y $C$. Sean $E$ el punto medio de $AD$ y $F$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita del triángulo $ACD$ son la circunferencia circunscrita del triángulo $BDE$.

Demostrar que al mover $D$, la recta $EF$ pasa por un punto fijo.

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APMO 2022 P1


Hallar todas las parejas $(a,b)$ de números enteros positivos tales que $a^3$ es múltiplo de $b^2$ y $b-1$ es múltiplo de $a-1$.

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