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Resultados FOFO de Pascua 2024

Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios.

En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para los primeros 7 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron al menos 47 puntos) se otorga una Copa Especial, para los siguientes 8 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 33 y 46 puntos), una Medalla Especial, y para los siguientes 8 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 24 y 32 puntos), una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!

Spoiler: mostrar: \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{Samir.Ochoa} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{3} & \text{Emiliano Sosa} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{3} & \text{Ignacio Daniele} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{3} & \text{Tob.Rod} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{6} & \text{drynshock} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{jazzzg} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{8} & \text{Majamar} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{9} & \text{BR1} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{9} & \text{Fedee} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{4lbahaca} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{Kechi} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{Jordan.v} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{marcoalonzo} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{15} & \text{lola.m} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{16} & \text{magnus} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{17} & \text{Angel.C} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{17} & \text{IPM-Tomas-Chame} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{17} & \text{jesusmtp} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{20} & \text{florsa06} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{20} & \text{Micaaa} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{22} & \text{Meli.} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{22} & \text{Sol Sandleris} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicidades a todos!

Sean tres cuadrados, $ABCD$, $CEFG$ y $BJEK$. Probar que siempre existen 3 vértices, uno de cada cuadrado, que están alineados

y que además uno de los vértices es punto medio entre los otros dos.

Encontrar todos los enteros positivos $d$ para los cuales existe un polinomio $P$ de grado $d$ con coeficientes reales tal que $P(1),P(2),\ldots ,P(d^2-d)$ son a lo sumo $d$ valores distintos.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de enteros positivos. Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que para toda pareja de enteros positivos $(x,y)$ se cumplen las siguientes condiciones:

(i) $x$ y $f(x)$ tienen el mismo número de divisores positivos.
(ii) Si $x$ no divide a $y$ e $y$ no divide a $x$, entonces$$\operatorname{mcd}(f(x),f(y))>f(\operatorname{mcd}(x,y)).$$Aquí $\operatorname{mcd}(m,n)$ es el mayor entero que divide a $m$ y $n$.

Para una sucesión $a_1<a_2<\cdots <a_n$ de enteros, decimos que una pareja $(a_i,a_j)$ con $1\leq i<j\leq n$ es interesante si existe una pareja de enteros $(a_k,a_\ell )$ con $1\leq k<\ell \leq n$ tal que$$\frac{a_\ell -a_k}{a_j-a_i}=2.$$Para cada $n\geq 3$, encontrar el mayor número posible de parejas interesantes en una sucesión de longitud $n$.

Decimos que un entero positivo $n$ es peculiar si, para cualquier divisor positivo $d$ de $n$, el entero $d(d+1)$ divide a $n(n+1)$. Demuestre que para cualesquiera cuatro enteros positivos peculiares distintos $A$, $B$, $C$ y $D$, se cumple lo siguiente:$$\operatorname{mcd}(A,B,C,D)=1.$$
Aquí $\operatorname{mcd}(A,B,C,D)$ es el mayor entero positivo que divide a $A$, $B$, $C$ y $D$.

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Encontrar la alineación de tres vértices.

EGMO 2024 P6

EGMO 2024 P5

EGMO 2024 P4

EGMO 2024 P3