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Resultados FOFO 14 Años

Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios. En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para el primer puesto (en este caso, el participante que obtuvo al menos 50 puntos) se otorga una Copa Especial, para los siguientes 4 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 42 y 49 puntos) se otorga una Medalla Especial, y para los siguientes 10 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 21 y 41 puntos) se otorga una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!

Spoiler: mostrar: \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{BR1} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{Ignacio Daniele} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{4} & \text{lola.m} &\text{Medalla Especial}\\ \hline
\text{4} & \text{marcoalonzo} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{6} & \text{Ulis7s} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Emily in Paris} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Majamar} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Manuel galli} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{10} & \text{riquelme10xd} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{drynshock} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{rayo5555} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{Luxcas213} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{Esteban Quito} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{magnus} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicitaciones a todos!

Se divide un triángulo equilátero en $4$ triángulos de áreas iguales: tres triángulos congruentes $ABX,BCY,CAZ$, y un triángulo equilátero más pequeño $XYZ$, como muestra la figura.
Demostrar que los puntos $X,Y,Z$ pertenecen al incírculo del triángulo $ABC$.

IGO 2024 Avanzado P1.png

Aclaración: El incírculo de un triángulo es la circunferencia tangente a sus tres lados. Su centro es el punto de intersección de las bisectrices del triángulo.

El punto $P$ es el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ del trapecio $ABCD$, con $AB\parallel CD$. Las simétricas de las rectas $AD$ y $BC$ con respecto a las bisectrices interiores de los ángulos $P\widehat DC$ y $P\widehat CD$ cortan a los circuncírculos de los triángulos $APD$ y $BPC$ en $D'$ y $C'$, respectivamente. La recta $C'A$ corta nuevamente al circuncírculo del triángulo $BPC$ en $Y$, y la recta $D'C$ corta nuevamente al circuncírculo del triángulo $APD$ en $X$. Demostrar que $P,X,Y$ son colineales.

Eric armó un polígono convexo $P$ utilizando, sin huecos ni superposiciones, una cantidad finita de figuras poligonales, todas ellas con un centro de simetría pero no necesariamente congruentes o convexas. Demostrar que $P$ tiene un centro de simetría.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y $D$ un punto del lado $BC$. Sea $J$ el punto del lado $AC$ tal que $B\widehat AD=2A\widehat DJ$, y sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $CDJ$. La recta $AD$ interseca nuevamente a $\omega$ en el punto $P$, y $Q$ es el pie de la altura trazada desde $J$ a $AB$.

Demostrar que si $JP=JQ$ entonces la recta perpendicular a $DJ$ trazada por $A$ es tangente a $\omega$.

Los puntos $X,Y$ pertenecen al lado $CD$ de un pentágono convexo $ABCDE$, con $X$ ubicado entre $Y$ y $C$. Supongamos que los triángulos $XCB,ABX,AXY,AYE,YED$ son todos semejantes (con exactamente ese orden en los vértices). Demostrar que los circuncírculos de los triángulos $ACD$ y $AXY$ son tangentes.

Aclaración: Un pentágono es convexo si todos sus ángulos miden menos de $180^\circ$.
El circuncírculo de un triángulo es la circunferencia que pasa por sus tres vértices.

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