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Resultados FOFO 14 Años

Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios. En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para el primer puesto (en este caso, el participante que obtuvo al menos 50 puntos) se otorga una Copa Especial, para los siguientes 4 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 42 y 49 puntos) se otorga una Medalla Especial, y para los siguientes 10 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 21 y 41 puntos) se otorga una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!

Spoiler: mostrar: \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{BR1} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{Ignacio Daniele} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{4} & \text{lola.m} &\text{Medalla Especial}\\ \hline
\text{4} & \text{marcoalonzo} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{6} & \text{Ulis7s} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Emily in Paris} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Majamar} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Manuel galli} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{10} & \text{riquelme10xd} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{drynshock} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{rayo5555} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{Luxcas213} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{Esteban Quito} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{magnus} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicitaciones a todos!

Se sabe que la ecuación $x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0$ tiene una raíz real. Demostrar la desigualdad $a^2+b^2\geqslant8$.

Se divide un polígono convexo de $1993$ lados en heptágonos convexos. Demostrar que hay tres lados vecinos del polígono de $1993$ lados que están en un mismo heptágono.

Sea $D$ un punto del lado $BC$ de un triángulo $ABC$. Se consideran las circunferencias inscriptas en los triángulos $ABD$ y $ACD$; su tangente exterior común (distinta de $BC$) corta a $AD$ en $K$. Demostrar que la longitud $AK$ no depende de la posición de $D$.

Se escriben uno tras otro los enteros positivos desde $1$ hasta $n$ en su representación decimal: $$1234567891011121314\cdots$$¿Existe $n$ tal que cada uno de los dígitos $0, 1, 2, \ldots, 9$ aparecen la misma cantidad de veces?

En un tablero de $m$ filas y $n$ columnas las operaciones permitidas son permutar los elementos de modo que ninguno cambie de fila (movida horizontal) o permutar los elementos de modo que ninguno cambie de columna (movida vertical). Hallar el número $k$ tal que toda permutación de los $mn$ elementos se puede obtener mediante $k$ operaciones permitidas, pero hay alguna permutación que no se puede obtener con menos de $k$ operaciones.

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