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Resultados FOFO 14 Años

Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios. En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para el primer puesto (en este caso, el participante que obtuvo al menos 50 puntos) se otorga una Copa Especial, para los siguientes 4 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 42 y 49 puntos) se otorga una Medalla Especial, y para los siguientes 10 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 21 y 41 puntos) se otorga una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!

Spoiler: mostrar: \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{BR1} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{Ignacio Daniele} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{4} & \text{lola.m} &\text{Medalla Especial}\\ \hline
\text{4} & \text{marcoalonzo} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{6} & \text{Ulis7s} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Emily in Paris} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Majamar} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Manuel galli} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{10} & \text{riquelme10xd} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{drynshock} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{rayo5555} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{Luxcas213} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{Esteban Quito} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{magnus} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicitaciones a todos!

Sean $p,q,r$ primos y $n$ un entero positivo tal que $p^n+q^n=r^2$. Demostrar que $n=1$.

Sean $m$, $n$ enteros positivos. Demostrar que $25^n-7^m$ es divisible por $3$ y hallar el menor entero positivo de la forma $\mid 25^n-7^m-3^m\mid$.

En el triángulo $ABC$ consideramos los puntos medios $M$, $N$, $P$ de los lados $BC$, $CA$, y $AB$, respectivamente, y sea $G$ el baricentro del triángulo. Demostrar que si $BMGP$ es cíclico y $2BN=\sqrt{3} AB$, entonces el triángulo $ABC$ es equilátero.

En un rombo $ABCD$ consideramos los puntos $E$ y $F$ de los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, tales que $AE=DF$. Las rectas $BC$ y $DE$ se cortan en $P$, y las rectas $CD$ y $BF$ se cortan en $Q$. Demostrar que:

$\dfrac{PE}{PD}+\dfrac{QF}{QB}=1$
Los puntos $P$, $A$ y $Q$ son colineales.

Sean $a<b\leqslant c<d$ enteros positivos tales que $ad-bc$ y $\sqrt{d}-\sqrt{a} \leqslant 1$. Demostrar que $a$ es un cuadrado perfecto.

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