OMA Foros

Determiná el menor número entero positivo que termina en $56$, es múltiplo de $56$ y tiene la suma de sus dígitos igual a $56$.

Celia elige un número $n$ y escribe la lista de los números naturales desde $1$ hasta $n$:$$1,\;2,\;3,\;4,\;\ldots ,\;n-1,\;n.$$En cada paso, cambia la lista: copia el primer número al final y borra los dos primeros.

Después de $n-1$ pasos quedará escrito un único número.

Por ejemplo, para $n=6$, los cinco pasos son:$$1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6\to 3,\;4,\;5,\;6,\,1\to 5,\;6,\;1,\;3\to 1,\;3,\;5\to 5,\;1\to 5$$y queda escrito el número $5$.

Celia eligió un número $n$ entre $1000$ y $3000$ y después de $n-1$ pasos quedó escrito el número $1$.

Determiná todos los valores de $n$ que pudo haber elegido Celia.

Justificá por qué esos valores sirven y los demás no.

Se tiene un tablero de $4\times 4$. Definimos la separación entre dos casillas como el menor número de movidas que debe emplear un caballo de ajedrez para ir de una casilla a la otra, utilizando movimientos del caballo. Tres casillas $A$, $B$, $C$ forman un trío bueno si las tres separaciones entre $A$ y $B$, entre $A$ y $C$, y entre $B$ y $C$ son iguales. Determinar el número de tríos buenos que se forman en el tablero.

Aclaración: En cada movida, el caballo de ajedrez se desplaza $2$ casillas en dirección horizontal más una casilla en dirección vertical, o se desplaza $2$ casillas en dirección vertical más una casilla en dirección horizontal.

Pedro escribe todos los números de cuatro cifras que se pueden armar con los dígitos $a$, $b$, $c$ y $d$ que cumplen las siguientes condiciones:$$a\neq 0,\quad b=a+2,\quad c=b+2,\quad d=c+2.$$Calculá la suma de todos los números que escribió Pedro.

Beto marcó $2003$ puntos verdes en el plano, de manera que todos los triángulos con sus tres vértices verdes tienen área menor que $1$. Demuestra que los $2003$ puntos verdes están contenidos en un triángulo $T$ de área menor que $4$.

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Mayo 2003 Primer Nivel Problema 3

Mayo 2003 Primer Nivel Problema 4

Mayo 2003 Primer Nivel Problema 5

Mayo 2003 Primer Nivel Problema 1

Mayo 2003 Segundo Nivel Problema 4