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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Cada uno de veintidós conjuntos contiene cinco elementos. La intersección de cualesquiera dos de estos conjuntos contiene exactamente dos elementos. Demostrar que la intersección de todos estos conjuntos contiene exactamente dos elementos.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Consideramos un trapecio rectángulo $ABCD$ en el que $AB\parallel CD,AB>CD,AD\perp AB$ y $AD>CD$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersectan en $O$. La paralela a $AB$ por $O$ interseca a $AD$ en $E$ y $BE$ interseca a $CD$ en $F$. Demostrar que $CE\perp AF$ si y sólo si $AB\cdot CD=AD^2-CD^2$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
Alma, Benito y Carla tienen en total $\$504$.
Alma le da $\$5$ a Benito. Luego Benito le da un tercio de lo que tenía a Alma y un cuarto de lo que le queda a Carla.
Ahora Alma tiene el doble que Benito y Carla tiene el triple que Benito.
¿Cuántos pesos tenía cada uno inicialmente?
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  • Últimos temas

Mayo 2003 Primer Nivel Problema 3


Determiná el menor número entero positivo que termina en $56$, es múltiplo de $56$ y tiene la suma de sus dígitos igual a $56$.

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Mayo 2003 Primer Nivel Problema 4


Celia elige un número $n$ y escribe la lista de los números naturales desde $1$ hasta $n$:$$1,\;2,\;3,\;4,\;\ldots ,\;n-1,\;n.$$En cada paso, cambia la lista: copia el primer número al final y borra los dos primeros.

Después de $n-1$ pasos quedará escrito un único número.

Por ejemplo, para $n=6$, los cinco pasos son:$$1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6\to 3,\;4,\;5,\;6,\,1\to 5,\;6,\;1,\;3\to 1,\;3,\;5\to 5,\;1\to 5$$y queda escrito el número $5$.

Celia eligió un número $n$ entre $1000$ y $3000$ y después de $n-1$ pasos quedó escrito el número $1$.

Determiná todos los valores de $n$ que pudo haber elegido Celia.

Justificá por qué esos valores sirven y los demás no.

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Mayo 2003 Primer Nivel Problema 5


Se tiene un tablero de $4\times 4$. Definimos la separación entre dos casillas como el menor número de movidas que debe emplear un caballo de ajedrez para ir de una casilla a la otra, utilizando movimientos del caballo. Tres casillas $A$, $B$, $C$ forman un trío bueno si las tres separaciones entre $A$ y $B$, entre $A$ y $C$, y entre $B$ y $C$ son iguales. Determinar el número de tríos buenos que se forman en el tablero.

Aclaración: En cada movida, el caballo de ajedrez se desplaza $2$ casillas en dirección horizontal más una casilla en dirección vertical, o se desplaza $2$ casillas en dirección vertical más una casilla en dirección horizontal.

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Mayo 2003 Primer Nivel Problema 1


Pedro escribe todos los números de cuatro cifras que se pueden armar con los dígitos $a$, $b$, $c$ y $d$ que cumplen las siguientes condiciones:$$a\neq 0,\quad b=a+2,\quad c=b+2,\quad d=c+2.$$Calculá la suma de todos los números que escribió Pedro.

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Mayo 2003 Segundo Nivel Problema 4


Beto marcó $2003$ puntos verdes en el plano, de manera que todos los triángulos con sus tres vértices verdes tienen área menor que $1$. Demuestra que los $2003$ puntos verdes están contenidos en un triángulo $T$ de área menor que $4$.

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