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Notemos que para todo entero positivo $n\geq 3$, tenemos que $a_{n+1}=a_n(a_{n-1}+1)$. Por lo tanto, $a_n\mid a_{n+1}$ para todo $n\geq 3$. Luego, si $a_n$ tiene algún factor primo, entonces este número también sería factor primo de todos los términos siguientes. Si $a_1=a_2=1$, entonces todos los ...

Supongamos sin pérdida de generalidad que $x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_{2024}$. Diremos que una pareja $(i, j)$ es llamada buena si $x_i^2+x_j\leq \dfrac{1}{2023}$, de lo contrario, diremos que dicha pareja es mala . Como $x_1$ es el menor de los $2024$ números dados, entonces $x_1\leq \dfrac{1}{...

Teorema de Lagrange. Sea $p$ un número primo y sea $P(X)$ un polinomio de grado $n$ y coeficientes enteros. Si al menos uno de los coeficientes de $P$ no es múltiplo de $p$, entonces hay a lo sumo $n$ restos distintos $x$ en el módulo $p$ tales que $P(x)\equiv 0\pmod p$. Solución. Sea $p$ un diviso...

Teorema de la Mariposa: Sea $M$ el punto medio de la cuerda $XY$. Por $M$ se trazan las cuerdas $AB$ y $CD$, luego, al unir los extremos de tales cuerdas (tal como se muestra en el gráfico) intersectan a la cuerda $XY$ en los puntos $P$ y $Q$. Entonces, $M$ es punto medio del segmento $PQ$. https:/...

Si $a$ y $b$ tienen la misma paridad, entonces $a^2+b^2$ es un número par mayor que $2$ y por lo tanto es compuesto. Ahora, supongamos que $a$ y $b$ tienen diferente paridad. Si $a^2+b^2$ no es primo, no hay nada más por hacer. Si $a^2+b^2=p$ es primo, entonces claramente $a$ y $b$ son coprimos con...

Si $p=q$, entonces $p=\dfrac{2a^2+2}{a+1}$. Por lo tanto, $$a+1\mid 2a^{2}+2 \hspace{0.34cm}\Rightarrow\hspace{0.34cm} a+1\mid 2(a^{2}-1)+4 \hspace{0.34cm}\Rightarrow\hspace{0.34cm} a+1\mid 4.$$ De lo último, tenemos que $a=1$ o $a=3$. Si $a=1$, entonces $p=q=2$. Si $a=3$, entonces $p=q=5$. Si $p\n...

Sea $X$ el punto medio del segmento $AP$ y sea $T$ la intersección de la recta $AC$ y la circunferencia centrada en $Q$ y radio $QB$. Por lo tanto, $$\angle BTC=\frac{\angle BQC}{2}=\frac{\angle BAC}{2}=\angle BAP.$$ Notemos que $\angle TCB=\angle APB$, entonces los triángulos $TBC$ y $ABP$ son sem...

Primero veamos que $d$ sí puede tomar los valores de $1$, $2$ y $3$: Para $d=1$. El polinomio $P(x)=x$ satisface que $\left| P(-1) \right|=\left| P(1) \right|=1$. Para $d=2$. El polinomio $P(x)=x(x-3)+1$ satisface que $\left| P(0) \right|=\left| P(1) \right|=\left| P(3) \right|=1$. Para $d=3$. El p...

Claramente $n=1$ y $n=2$ son bromistas. Consideremos ahora que $n$ es número bromista mayor o igual que $3$. Puesto que $15(n!)^2+1$ es coprimo con $n!$, entonces $2n-3$ no puede tener algún factor primo menor o igual que $n$. Demostraremos que $2n-3$ es primo. En efecto, supongamos que $2n-3$ es c...

Este problema fue tomado en la USAMO 2003. Aquí se puede encontrar la solución.