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Determine si existe un número $N$ de $100$ dígitos que cumpla las siguientes propiedades:

$\star$ $N$ es divisible por cada uno de sus dígitos.

$\star$ Al sumar cualesquiera dos o más dígitos de $N$, se obtiene como resultado un divisor de $N$.

Por el algoritmo de la división sabemos que existen enteros no negativos $q$ y $r$ tales que $2025=nq+36$, donde $n>36$. Luego, tenemos que $nq=1989=3^2\cdot 13\cdot 17$. Este número tiene $(2+1)(1+1)(1+1)=12$ divisores positivos, de los cuales los únicos que son menores o iguales que $36$ son: $1$...

Como $\overline{ab}+\overline{ba}=11(a+b)$ es un cuadrado perfecto, entonces $a+b=11k^2$ para algún entero positivo $k$. Debido a que $11k^2=a+b\leq 9+9=18$, tenemos que $k=1$ y $a+b=11$. Las únicas posibilidades para la pareja de dígitos $(a, b)$ son: $$(2, 9),\quad (3, 8),\quad (4, 7),\quad (5, 6...

Para todo $k\geq 2$, se tiene que $$a_k^2-a_{k-1}^2=\left(a_{k-1}+\frac{1}{a_{k-1}}\right)^2-a_{k-1}^2=2+\frac{1}{a_{k-1}^2}.$$ Como $a_{k-1}\geq 1$ para $k\geq 2$, resulta que $$2<a_k^2-a_{k-1}^2<3.$$ Sumando las desigualdades para $k=2$, $3$, ... , $n$, se obtiene que $$2(n-1)<a_n^2-a_1^2<3(n-1) ...

Notemos que para cada $k=0,1,2,\ldots ,2023$, tenemos que$$\left (5^{2024}\right )^2=\sum \limits _{i=0}^k\left (4\cdot 3^i\cdot 5^{2023-i}\right )^2+\left (3^{k+1}\cdot 5^{2023-k}\right )^2.$$Con esto queda demostrado que $\left (5^{2024}\right )^2$ es un cuadrado perfecto que se puede expresar co...

Sea $n$ un entero positivo arbitrario y sea $t$ el número de dígitos de $2024n^2$. Consideremos el número $N=n\cdot 10^t$. No es difícil notar que el conjunto $$\mathcal{A}=\left\{N+i\cdot n \: : \: i=0, 1, 2, ... , 2024n\right\}$$ tiene exactamente $k=2024n+1$ elementos y todos ellos son múltiplos...

Primero notemos que $$\frac{xy}{x+y+1}=\frac{1}{\left ( 1+\dfrac{1}{x} \right )\left ( 1+\dfrac{1}{y} \right )-1}.$$ Si en algún momento en la pizarra están escritos los números $x_1$, $x_2$, ... , $x_k$, asignamos la transformación $$T=\left(\frac{1}{x_1}+1\right)\left(\frac{1}{x_{2}}+1\right)\cdo...

Lema. Si $T$ es un entero positivo que tiene exactamente $k$ factores primos, entonces hay exactamente $2^{k-1}$ parejas $(x, y)$ de enteros positivos coprimos tales que $x<y$ y $xy=T$. Demostración. Expresamos a $T$ en su factorización en primos: $N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$. Tomemos una...

Sean $P_1, P_2, \ldots , P_{12}$ los vértices del polígono, en sentido horario. No es difícil notar que $P_i=P_{i+3}$ para todo $i$, tomando los índices en el módulo $12$. Además, definiendo los números en los vértices $P_1$ y $P_2$, automáticamente se definen los números en los $10$ vértices resta...

Sea $X=p_1p_2\cdots p_k$, donde $p_1\leq p_2\leq \cdots \leq p_k$ son primos, y sea $Y=(p_1+1)(p_2+1)\cdots (p_k+1)$. Veamos qué sucede si $X$ divide a $Y$. Notemos que no puede suceder que $p_1=p_k$, de lo contrario $p_1=p_2=\cdots =p_k=p$ y $p^k\mid (p+1)^k$, lo cual es absurdo. Por lo tanto, no ...