Se encontraron 383 coincidencias

por jujumas
Dom 13 Oct, 2019 8:32 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: FOFO 9 años Problema 9
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Re: FOFO 9 años Problema 9

Aquí vamos a publicar la solución oficial
por jujumas
Dom 13 Oct, 2019 7:38 pm
Foro: General
Tema: Arrancó el FOFO 9 años
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Re: Arrancó el FOFO 9 años

Sandy escribió:
Dom 13 Oct, 2019 1:21 pm
En el 8), "algunos números" puede ser uno solo? O sea, si por ejemplo A={1,2,3}, el 1 y el 2 pertenecen a S?
Sí.
por jujumas
Jue 10 Oct, 2019 11:35 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: FOFO 9 años Problema 9
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FOFO 9 años Problema 9

En cada vértice de un $2019$-ágono regular hay un tótem. Inicialmente, cada tótem le está disparando con un rayo laser a otro tótem. Un movimiento consiste en elegir un tótem y hacerlo girar en sentido antihorario hasta que su laser toque por primera vez a otro tótem. Decimos que un tótem $A$ está t...
por jujumas
Lun 16 Sep, 2019 6:14 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Ibero 2019 - P4
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Re: Ibero 2019 - P4

Solución: Figura: Ibero2019P4.png Claramente $ABCD$ es un trapecio isósceles. Notemos entonces que $DCQP$ también lo es, por lo que obtenemos que $\angle DPC = \angle DQC$, pero como $\angle DEC = \angle DFC$, obtenemos que los triángulos $DEP$ y $DFQ$ son semejantes. Ahora, notemos que como $\angl...
por jujumas
Lun 16 Sep, 2019 5:45 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Ibero 2019 - P6
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Re: Ibero 2019 - P6

Solución: Lema: Para todo polinomio $P$ no constante de coeficientes enteros existen infinitos primos $q$ tales que $q \mid P(n)$ para cierto $n$ entero. Demo: Sea $P(x) = a_nx^n + \cdots a_1x + a_0$. Si $a_0=0$, todos los términos son divisibles por $x$ y en particular $q \mid P(q)$. Si $a_0 \neq ...
por jujumas
Lun 16 Sep, 2019 12:46 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Ibero 2019 - P3
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Re: Ibero 2019 - P3

Lendo: Según qué ángulo es más grande, la figura puede ser bastante distinta, así que resuelvo sobre la figura más linda y tomo razones dirigidas. Figura: IberoProblema3.png Antes de meter el clásico párrafo que define $5$ puntos nuevos, veamos que $BPQC$ es cíclico, ya que $\angle PBQ = \angle BEC...
por jujumas
Sab 07 Sep, 2019 10:21 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: IGO 2018 - P5 Nivel Avanzado
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Re: IGO 2018 - P5 Nivel Avanzado

El único más hacible de los IGO5s Solución: Sea $P$ el punto donde $AB$ y $CD$ se cortan (puede ser punto infinito), sean $I_a$, $I_b$, $I_c$, $I_d$ los incentros de los triángulos más cercanos al vértice respectivo. Claramente $I_a, G, I_d$ y $I_b, H, I_c$ son colineales por estar en bisectrices de...
por jujumas
Vie 09 Ago, 2019 1:14 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Selectivo Ibero 2019 - Problema 3
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Re: Selectivo Ibero 2019 - Problema 3

Super corta: SelIbero2019P3.png Sea $P$ el punto donde $CB$ y $EA$ se cortan, sea $G$ el punto donde donde $DB$ vuelve a cortar al circuncírculo de $CDEP$, sea $K$ el punto donde $EG$ corta a $CP$. Como $CDEP$ es armónico, tomando perspectiva desde $G$ obtenemos que $P$, $K$, $B$, $C$ forman cuater...
por jujumas
Mié 17 Jul, 2019 4:11 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: IMO 2019 - P5
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Re: IMO 2019 - P5

Solución: Sea $f(n)$ el promedio de $L(C)$ sobre las $2^n$ posibles configuraciones iniciales de $C$, notemos que $f(1)=\frac{1}{2}$. Notar que si $f(k)$ está definido, entonces la parte (a) del problema se cumple para $n=k$, ya que tenemos acotado $L(C)$ para todo $C$ con $k$ monedas. Lema Si $f(n...
por jujumas
Mié 17 Jul, 2019 2:09 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: IMO 2019 - P4
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Re: IMO 2019 - P4

Adefesio Solución: Sea $v_p(n)$ el exponente del primo $p$ en la factorización de $n$, sabemos que $v_3(k!)=v_3(\prod_{i=0}^{n-1} (2^n - 2^i))$. Claramente, $v_3(2^n-2^i) =v_3(2^i) + v_3(2^{n-i}-1)=v_3(2^{n-i}-1)$. Ahora, viendo la expresión módulo $3$ tenemos que esto es $0$ sí y sólo sí $n-i$ es i...