Se encontraron 380 coincidencias

por jujumas
Lun 16 Sep, 2019 6:14 pm
Foro: Geometría
Tema: Ibero 2019 - P4
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Re: Ibero 2019 - P4

Solución: Figura: Ibero2019P4.png Claramente $ABCD$ es un trapecio isósceles. Notemos entonces que $DCQP$ también lo es, por lo que obtenemos que $\angle DPC = \angle DQC$, pero como $\angle DEC = \angle DFC$, obtenemos que los triángulos $DEP$ y $DFQ$ son semejantes. Ahora, notemos que como $\angl...
por jujumas
Lun 16 Sep, 2019 5:45 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Ibero 2019 - P6
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Re: Ibero 2019 - P6

Solución: Lema: Para todo polinomio $P$ no constante de coeficientes enteros existen infinitos primos $q$ tales que $q \mid P(n)$ para cierto $n$ entero. Demo: Sea $P(x) = a_nx^n + \cdots a_1x + a_0$. Si $a_0=0$, todos los términos son divisibles por $x$ y en particular $q \mid P(q)$. Si $a_0 \neq ...
por jujumas
Lun 16 Sep, 2019 12:46 am
Foro: Geometría
Tema: Ibero 2019 - P3
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Re: Ibero 2019 - P3

Lendo: Según qué ángulo es más grande, la figura puede ser bastante distinta, así que resuelvo sobre la figura más linda y tomo razones dirigidas. Figura: IberoProblema3.png Antes de meter el clásico párrafo que define $5$ puntos nuevos, veamos que $BPQC$ es cíclico, ya que $\angle PBQ = \angle BEC...
por jujumas
Sab 07 Sep, 2019 10:21 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: IGO 2018 - P5 Nivel Avanzado
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Re: IGO 2018 - P5 Nivel Avanzado

El único más hacible de los IGO5s Solución: Sea $P$ el punto donde $AB$ y $CD$ se cortan (puede ser punto infinito), sean $I_a$, $I_b$, $I_c$, $I_d$ los incentros de los triángulos más cercanos al vértice respectivo. Claramente $I_a, G, I_d$ y $I_b, H, I_c$ son colineales por estar en bisectrices de...
por jujumas
Vie 09 Ago, 2019 1:14 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Selectivo Ibero 2019 - Problema 3
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Re: Selectivo Ibero 2019 - Problema 3

Super corta: SelIbero2019P3.png Sea $P$ el punto donde $CB$ y $EA$ se cortan, sea $G$ el punto donde donde $DB$ vuelve a cortar al circuncírculo de $CDEP$, sea $K$ el punto donde $EG$ corta a $CP$. Como $CDEP$ es armónico, tomando perspectiva desde $G$ obtenemos que $P$, $K$, $B$, $C$ forman cuater...
por jujumas
Mié 17 Jul, 2019 4:11 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: IMO 2019 - P5
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Re: IMO 2019 - P5

Solución: Sea $f(n)$ el promedio de $L(C)$ sobre las $2^n$ posibles configuraciones iniciales de $C$, notemos que $f(1)=\frac{1}{2}$. Notar que si $f(k)$ está definido, entonces la parte (a) del problema se cumple para $n=k$, ya que tenemos acotado $L(C)$ para todo $C$ con $k$ monedas. Lema Si $f(n...
por jujumas
Mié 17 Jul, 2019 2:09 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: IMO 2019 - P4
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Re: IMO 2019 - P4

Adefesio Solución: Sea $v_p(n)$ el exponente del primo $p$ en la factorización de $n$, sabemos que $v_3(k!)=v_3(\prod_{i=0}^{n-1} (2^n - 2^i))$. Claramente, $v_3(2^n-2^i) =v_3(2^i) + v_3(2^{n-i}-1)=v_3(2^{n-i}-1)$. Ahora, viendo la expresión módulo $3$ tenemos que esto es $0$ sí y sólo sí $n-i$ es i...
por jujumas
Jue 06 Jun, 2019 6:46 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: CIMA 2019 - P6
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CIMA 2019 - P6

Se tiene una urna con $2019$ bolitas rojas. Se van sacando bolitas de la urna. Cuando se saca una bolita roja, se agregan tantas bolitas azules como bolitas quedan en la urna. Cuando se saca una bolita azul, se continua sacando. ¿Cuál es la probabilidad de que la última bolita que se saque sea azul?
por jujumas
Jue 06 Jun, 2019 6:43 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: CIMA 2019 - P5
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CIMA 2019 - P5

Los segmentos $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ son tangentes a una esfera $E$. Probar que los cuatro puntos de tangencia son coplanares.
por jujumas
Jue 06 Jun, 2019 6:39 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: CIMA 2019 - P4
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CIMA 2019 - P4

Decidir si existe $X\subseteq\mathbb{N}$ infinito tal que no hay dos polinomios mónicos con raíces todas distintas y en $X$ que tengan un coeficiente (distinto del principal) en común. Es decir, si $s_1, \ldots, s_k, t_1, \ldots, t_l$ están en $X$ y $(x-s_1)(x-s_2) \ldots (x-s_k)$ y $(x-t_1)(x-t_2) ...