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Sean $a,p \in \mathbb{N}$ tales que $p$ es primo. Se sabe que el resto de dividir $a$ por $4$ es igual a $3$ y que el resto de dividir $p$ por $4$ es igual a $1$. Se sabe además que todos los divisores primos de $a$ son también divisores de $p+1$. Si existen tres enteros positivos $x,y,z$ tales que ...

Consideramos un grupo de $n>1$ personas. Cualesquiera dos personas de este grupo están relacionadas por amistad o enemistad mutua. Todo amigo de un amigo y todo enemigo de un enemigo es un amigo. Si $A$ y $B$ son amigos/enemigos entonces lo contamos como $1$ amistad/enemistad. Observamos que el núme...

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias que se intersecan en puntos distintos $P$ y $Q$. Sean $\ell_1$ y $\ell_2$ dos lineas paralelas que pasan por $P$ y $Q$ respectivamente. $\ell_1$ interseca $S_1$ y $S_2$ en los puntos $A_1$ y $A_2$, distintos de $P$, respectivamente. $\ell_2$ interseca $S_1$ y $...

Sea $ABCD$ un cuadrado. Sobre la recta $AB$ marcamos un punto $E$ que cumple que $BE>AB$ y que $B$ está entre $A$ y $E$. Sean $F$ y $G$ puntos tales que $BEFG$ es un cuadrado (con los vértices en ese orden) y $F$ y $G$ están del mismo lado que $C$ con respecto a $AB$. Sea $M$ el punto medio de $CG$ ...

Para cada número entero positivo $n$ llamamos $S(n)$ a la suma de sus dígitos y $P(n)$ al producto de sus dígitos. Por ejemplo: $S(12345)=1+2+3+4+5=15$ y $P(12345)=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$. Decimos que un número entero positivo $n$ es obediente si $S(n)=P(n)$ (es decir, la suma de sus ...

Sobre la mesa hay $20$ tarjetas que tienen escritos los números enteros del $1$ al $20$ (Uno en cada una y sin repetir). Una operación consiste en seleccionar dos tarjetas, sacarlas de la mesa y agregar a la mesa una nueva tarjeta que contenga el número que se obtiene al sumar, restar, multiplicar o...

CONCLUYÓ EL OFO 2019 Hoy abriremos los threads de los problemas. Próximamente vamos a publicar las soluciones oficiales allí. Mientras tanto, pueden aprovechar para contar qué hicieron en cada problema, o a qué resultados llegaron. En el transcurso de estos días vamos a mandar por Mensaje Privado l...

Solución oficial: Para $n=1$ el problema es cierto ya que $\sigma(1)=\varphi(1)=1$ y entonces $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\geq \frac{2}{1}$ Así que a partir de ahora supongamos que $n>1$. Primero vamos a probar el siguiente lema: Para todo entero positivo $n$, $\sigma (n) \varphi (n) \leq n^2$ Factoric...

Aquí publicaremos la solución oficial

abcd escribió: ↑

Lun 21 Ene, 2019 4:37 pm

En el problema 3, si hago por ejemplo 1+1-1 y 1-1+1, se cuenta como distintas posibilidades o no?

Sí, cuentan como distintas