OMA Foros

Para cada entero positivo $n$, sea $f(n)=n+\lfloor \sqrt n \rfloor$. Demostrar que para todo entero positivo $m$, la sucesión $m, f(m), f(f(m)), f(f(f(m))), \cdots$ contiene un cuadrado perfecto. Nota: Para cualquier número real $x$, $\lfloor x \rfloor$ es el mayor número entero que es menor o igual...

Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero. Sea $X$ un punto en $AB$, $Y$ un punto en $BC$ y $Z$ un punto en $CA$, de forma que el triángulo $\triangle XYZ$ también sea equilátero. Demostrar que: $$\frac{\text{Área}(\triangle XYZ)}{\text{Área}(\triangle ABC)}\geq \frac{1}{4}$$

Tenemos $5$ bolitas que pesan $1,2,3,4$ y $5$ gramos, pero de apariencia son indistinguibles. Luigi tiene una balanza de platos y su objetivo es colocar un conjunto de bolitas en cada plato (al menos una) de forma que la balanza se equilibre. Mostrar cómo puede hacerlo usando la balanza máximo $6$ v...

Se tiene un tablero NO cuadriculado de $2018\times 2018$. Nico y Mateo por turnos juegan a colocar dentro del mismo fichas rectangulares de $1\times 18$ en cualquier posición. Comienza Nico y pierde el que ya no pueda colocar una ficha. Determinar quién tiene la estrategia ganadora. Aclaración: Las ...

En un boliche hay $500$ personas. A partir de las $12\text{hs}$, cada minuto se retira un grupo de personas: En el primer minuto se van todos los que no tienen ningún amigo entre los presentes; un minuto después se van todos los que tienen exactamente un amigo entre las personas aun presentes; al si...

Sea $ABCDE$ un pentágono regular. Llamemos $P$ y $Q$ a la intersección de $AC$ con $BE$ y $BD$ con $CE$ respectivamente. Si el área de la estrella $ACEBD$ es $1$, hallar el área del cuadrilátero $APQD$.

Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$, y lados no paralelos $BC$ y $DA$, y una semicircunferencia con centro en el segmento $AB$ y tangente a los otros tres lados del trapecio. Si $AB = 15$ y $DA = 6$, calcular la medida de $BC$. Nota: Si $P$ es un punto de una circunferencia de centro $O$, la...

Decimos que un número natural es representable si es igual a la suma de varios (por lo menos $2$) números naturales consecutivos. Por ejemplo, $57$ es representable porque $57=7+8+9+10+11+12$. Decidir si cada uno de los números $2016, 2017, 2018, 2032, 2048$ es representable o no. Nota: El $0$ no es...