OMA Foros

OMA Foros Open 2019 Vuelve el clásico del verano de OMA Foros, en su quinta edición! ¿Qué es el OFO? El OFO ( OMA Foros Open ) consistirá en una competencia online ABIERTA para todos los usuarios de OMA Foros que deseen participar. ¿Cuándo se llevará a cabo? El Certamen se llevará a cabo a partir d...

Debido al éxito que tuvo la OMEO 2018, ¡llega la OMEO 2019! Un grupo de olímpicos y ex-olímpicos de la provincia de Córdoba estamos organizando un evento similar a un nacional de OMA (no oficial) para todos aquellos que estén interesados (Cualquiera que haya participado alguna vez en OMA, ya sea ins...

Supongamos que $a_k>k$ luego $(a_1-k)(a_2-k)\cdots (a_n-k)>0$ Capaz hay algo que no estoy viendo, pero tomando $k=2$ (en general con $k$ par me parece que no funciona), tenés $a_1-2=1-2=-1<0$, y como $2<a_2<\ldots <a_n$ entonces $a_i-2>0$ para $i=2,\ldots , n$, por lo tanto $(a_2-k)\ldots (a_n-k)>0...

Sea $C=1^2+2^2+\cdots +2018^2$. Luego los $2018$ enteros positivos $C^4, 2C^4, \cdots, 2018C^4$ cumplen ya que $C^8+2^2C^8+\cdots +2018^2C^8=(1^2+2^2+\cdots +2018^2)C^8=C^9=(C^3)^3$ es un cubo perfecto y $C^{12}+2^3C^{12}+\cdots +2018^3C^{12}=\left (\frac{2018\times 2019}{2} \right )^2 C^{12}=((201...

Supongamos sin pérdida de generalidad que $a_1<a_2<\cdots <a_n$. Vamos a demostrar por inducción que $a_i=i$ para $i=1,2, \cdots , n$ Supongamos que ya sabemos que $a_i=i$ para $i=1,2, \cdots, k-1$, vamos a ver entonces que $a_k=k$ (para el caso base $k=1$ no suponemos nada) En particular cuando $d...

Una empresa tiene $n$ empleados. Se sabe que cada uno de los empleados trabaja al menos uno de los $7$ días de la semana, con excepción de un empleado que no trabaja ninguno de los $7$ días. Además, para cualesquiera dos de estos $n$ empleados, existen por lo menos $3$ días de la semana en los que u...

Sea $n$ un entero positivo. Hallar todas las $n$-uplas $(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ de enteros positivos distintos tales que
$$\frac{(a_1+d)(a_2+d)\cdots(a_n+d)}{a_1a_2\cdots a_n}$$
es entero para todo entero $d\geq 0$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB$. sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ y $D$ el punto medio del menor arco $BC$ de esta circunferencia. Sean $E$ y $F$ puntos de los segmentos $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $AE=AF$. Sea $P\neq A$ el segundo punto de inter...

Veamos que $A$ es el ortocentro del triángulo $BHC$. Sea $H'$ el simétrico de $A$ respecto del punto medio del lado $BC$. Es conocido que $H'$ es el punto diametralmente opuesto a $H$ en la circunscrita de $BHC$. Sea $X$ el punto de intersección de $AG$ con la circunscrita de $BHC$. Luego $\angle H...

Mi solución:
https://www.youtube.com/watch?v=wr_OtpkU9zY