OMA Foros

Vamos a distinguir los $3$ pasos claves para resolver este problema (y muchos otros problemas de invariantes). Notar que el área del triángulo que forman las $3$ pulgas es invariante. Sean $X$, $Y$, $Z$ las posiciones de las pulgas. Si $X$ salta sobre $Y$ hasta $X'$ como dice el enunciado, $XY=YX'$...

Turko Arias escribió: ↑

Sab 19 Sep, 2020 6:21 pm

La gente del Politécnico odia la geometría

Solución 166 Se asume $\hat{B}<180$ Sean $M\hat{B}P=\alpha>0$, $P\hat{B}N=\beta>0$ y $B\hat{N}P=\gamma>0$, vamos a asumir que el ángulo es convexo, $\alpha+\beta<180$ y luego es fácil ver que $0<\gamma<180-\alpha-\beta$ para que efectivamente la recta $MN$ corte a las semirrectas $BA$ y $BC$. Aplic...

Nahu escribió: ↑

Vie 11 Sep, 2020 7:47 pm

Problema 166

Sea $P$ un punto en el interior de un ángulo $A\widehat{B}C$. Determinar la recta por $P$ que corta a $AB$ en $M$ y a $BC$ en $N$ y tal que $\frac{1}{PM}+\frac{1}{PN}$ sea máximo.

$AB$ y $BC$ son rectas? O son las semirrectas $BA$ y $BC$?

Sandy escribió: ↑

Vie 21 Ago, 2020 8:33 pm

Luego el producto $P(k)$ pasa a ser:
$P(k)=\prod \limits _{n=1}^{k} n\binom{k}{n}$

Creo que sería...
$$P(k)=\prod \limits _{n=1}^{k} n^{\binom{k}{n}}$$

Para un entero positivo $n$, sea $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$ en representación binaria.
Hallar todos los enteros positivos $k$ tal que$$s(1)s(2)s(3)\ldots s\left (2^k\right )$$es un cuadrado perfecto.

Armamos la sucesión $a_n$ de la siguiente manera, $a_1=3$ y $a_{n+1}$ es igual a $a_np$ si es que existe un primo $p$ que divide a $2^{a_n}+1$ y no a $a_n$, si no existe tal $p$, $a_{n+1}=2^{a_n}+1$. Veamos inductivamente que $a_n$ divide a $2^{a_n}+1$ para todo $n$, supongamos que pasa para $n$ y ...

Nicolas Valen escribió: ↑

Mar 18 Ago, 2020 3:23 pm

Sabiendo que $n$ y $p$ son coprimos

No entiendo por que son $n$ y $p$ coprimos.

Los números menores a $2^k$ tendrán $k$ dígitos (si tienen menos rellenamos con $0$ a la izquierda hasta que tengan $k$), es fácil ver que para cualquier posición habrá $2^{k-1}$ números con un $1$ en esa posición y $2^{k-1}$ números con un $0$, por lo que la suma de las sumas de dígitos sera $1*2^...

Llamemos $S$ y $D$ a las cantidades de árboles plantados el sábado y el domingo respectivamente. Llamemos $M_S$ y $M_D$ a las cantidades de miembros que asistieron cada día. Sabemos que $S+D=1545$, y que $S$ es múltiplo de $17$ y $D$ de $20$. Pongamos la ecuación en módulo $20$: $S+20M_D\equiv 1545...