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Este problema lo pensamos con azul la semana pasada y nos salió: Sea $P(a,b)$ la probabilidad de que si hay inicialmente $a$ bolitas rojas y $b$ bolitas azules entonces la última bolita sacada de la urna sea roja. Está claro que $P(a,b)= \frac{a}{a+b}P(a-1,a+2b-1)+\frac{b}{a+b}P(a,b-1)$, además $P(0...

Sea $X=\{2^{2^k}\}_{k \in \mathbb{N}}$. Por cada $\mathbb{J} \subseteq \mathbb{N}$ finito tenemos un polinomio $p^{\mathbb{J}}$ cuyo conjunto de raíces es $ \{2^{2^k} : k \in \mathbb{J}\}$ que lo escribiremos como: $$p^{\mathbb{J}}=x^{|\mathbb{J}|}+\displaystyle \sum _{i=0}^{|\mathbb{J}|-1}{a^{\math...

No vi el spoiler. Para esos valores, el polinomio vale 1 en todos ellos o bien -1 en todos ellos, o en estos valores valen 1 o -1?

Sea a_1, a_2, a_3, ..., a_{97} los primeros 97 dígitos de izquierda a derecha del número escrito por luciano, b_1, b_2, b_3, ..., b_{97} una permutación cualquiera de a_1, a_2, a_3, ..., a_{97} y S la suma de los 99 números. Analicemos el resto de la suma en la división por 9 y por 8 separado. Empe...

Empece con intentar ver los terminos de la forma (a_k+1)^k .Uso aritmetico geometrico. Con la cual viendo los exponentes, vi que debia hacerlo con raiz k porque si no no me quedaba ni loco. Entonces escribi a_k+1 como a_k+ \frac{1}{(k-1)}+\frac{1}{(k-1)}+...+\frac{1}{(k-1)} . k-1 veces. Con esto qu...

Solución Problema 10 Sea X = DQ \cap AB y Y=EQ \cap AC . Es trivial por suma de ángulos que BQ\perp QC . Además, es sencillo ver que P es el incentro del triángulo \triangle BQC , por lo que \angle PQC = 45º . Sea I el incentro del \triangle PDC , es trivial que I está en la recta CQ , además, \ang...

Problema 9: Sea ABCD un cuadrilatero ciclico y sean H_1 y H_2 los ortocentros de los triangulos \triangle ABC y \triangle CDA respectivamente. Demostrar que H_1H_2 es paralelo a BD . Solución problema 9: Primero vamos a probar un lemita: Sea t una circunferencia, sean Y,Z dos puntos fijos en ella y...

Solucion Problema 2: O es el centro del circulo. AB\cdot AC=AM^2=AD\cdot AO entonces BCOD es ciclico. Sea P la interseccion del circuncirculo de BCOD con la mediatriz de BC . Tenemos que PDO es recto y por lo tanto P , M y D son colineales. De la definicion de P obtenemos que PD es bisectriz de BDC...