Se encontraron 400 coincidencias

por Violeta
Sab 06 Oct, 2018 5:08 pm
Foro: General
Tema: FOFO 8 años
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Re: FOFO 8 años

Me inscribo :)
por Violeta
Sab 29 Sep, 2018 11:58 pm
Foro: Geometría
Tema: IBERI 2018 - P6
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Re: IBERI 2018 - P6

Una solución que me contó un amigo: Sea $H$ el ortocentro de $ABC$ y $A'$ el reflejo de $A$ con respecto a $M$. Es claro que $BHCPA'Q$ es cíclico, digamos con circuncírculo $\Gamma$. Si $O$ es el circuncentro de $ABC$, sea $K'$ la intersección de $OH$ y $\Gamma$. Ahora, $\angle EOK' = \angle CHK' = ...
por Violeta
Mié 26 Sep, 2018 10:27 am
Foro: Geometría
Tema: IBERI 2018 - P6
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IBERI 2018 - P6

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB>BC$. Las mediatrices de $AC$ y $AB$ intersecan a la recta $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Los puntos $P$ y $Q$ están sobre $AC$ y $AB$, respectivamente, tal que $BA = BP$ y $CA=CQ$. $EP$ interseca a $DQ$ en $K$. Si $M$ es el punto medio de $BC$, proba...
por Violeta
Mié 26 Sep, 2018 10:22 am
Foro: Combinatoria
Tema: IBERI 2018 - P5
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IBERI 2018 - P5

Decimos que una permutación $a_1, a_2, \ldots ,a_n$ es guadiana si la sucesión $b_1, b_2, \ldots ,b_n$ definida por

$$b_i = \min_{1 \leq k \leq i} a_k + \max_{1 \leq k \leq i} a_k$$

no tiene dos términos consecutivos iguales.

Hallar la cantidad de permutaciones guadianas de $n$ términos.
por Violeta
Mié 26 Sep, 2018 10:16 am
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Ibero 2018 - P4
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Ibero 2018 - P4

Decimos que un conjunto $X$ es ibérico si es subconjunto de $ \{ 2, 3, \ldots , 2018 \}$ y si para todo $a,b \in X$, mcd$(a,b) \in X$. Decimos que un conjunto es olímpico si no es subconjunto de algún conjunto ibérico.

Hallar todos los conjuntos olímpicos ibéricos que contienen el número $33$.
por Violeta
Mar 25 Sep, 2018 6:11 pm
Foro: Combinatoria
Tema: IBERO 2018 - P3
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IBERO 2018 - P3

Se da un conjunto de $n$ rectas en el plano tal que no hay dos paralelas, no hay tres concurrentes y no hay dos perpendiculares. Se escoge una recta, una dirección de esta recta y un punto $P$ en esta recta. Esta recta es el eje de x, la dirección escogida es hacia dónde van los positivos y $P$ es e...
por Violeta
Mar 25 Sep, 2018 6:02 pm
Foro: Geometría
Tema: IBERO 2018 - P2
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IBERO 2018 - P2

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 90$ y $AB=AC$. Sea $\Gamma$ su circuncírculo y $M$ su circuncentro. Sea $D$ un punto en el arco $BAC$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones del circuncírculo de $ADM$ con las rectas $BD$ y $CD$, respectivamente.

Probar que $BE = CF$.
por Violeta
Mar 25 Sep, 2018 5:56 pm
Foro: Algebra
Tema: IBERO 2018 - P1
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IBERO 2018 - P1

Para cado entero $n \geq 2$, hallar todas las soluciones enteras del sistema de ecuaciones: ($S=\sum x_i$)

$$x_i = ( S - x_i)^{2018}, 1 \leq i \leq n$$
por Violeta
Vie 07 Sep, 2018 11:04 am
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Solución 320 Sean $a, b\in R$, con $a, b\neq 0$ Si tomamos $y=b$ y $x=\frac{a}{b}$ nos queda que $f(a)\leq bf(\frac{a}{b})+f(b)\implies f(b)\geq f(a)-bf(\frac{a}{b})$ Si tomamos $y=a$ y $x=\frac{b}{a}$ nos queda que $f(b)\leq af(\frac{b}{a})+f(a)$ Entonces nos queda que $af(\frac{b}{a})+bf(\frac{a}...
por Violeta
Lun 03 Sep, 2018 7:40 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Problema 320:
Hallar todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, tal que:

$$f(xy) \leq yf(x) + f(y)$$

para todo $x,y \in \mathbb{R}$.