Se encontraron 1232 coincidencias

por Gianni De Rico
Mar 02 Jun, 2020 6:17 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Problema 154

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con $AB\parallel CD$, y sea $E$ el punto medio de $AC$. La tangente al circuncírculo de $ABE$ por $A$ y la tangente al circuncírculo de $CDE$ por $D$ se cortan en $P$.
Demostrar que $PE$ es tangente al circuncírculo de $CDE$.
por Gianni De Rico
Mar 02 Jun, 2020 4:27 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: IMO 2008 - P6
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Re: IMO 2008 - P6

Solución: IMO 2008 P6.png Sean $P,Q,R,S$ los puntos donde $AB,BC,CD,DA$, respectivamente, son tangentes a $\omega$, $E$ el punto de tangencia de $AC$ y $\omega _2$, $H$ el punto de tangencia de $AC$ y $\omega _1$, $F$ el opuesto diametral $H$ en $\omega _1$, $G$ el punto diametralmente opuesto a $E...
por Gianni De Rico
Lun 01 Jun, 2020 4:22 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Y así fue como el Turko logró meter Teoría de Números en la Maratón de Geo Solución 153 Sea $PQRS$ el cuadrilátero y $O=PR\cap QS$. Notemos que$$\frac{[POQ]}{[QOR]}=\frac{OP}{OQ}=\frac{[SOP]}{[ROS]}$$entonces$$[POQ][ROS]=[QOR][SOP]$$pongamos $[POQ]=a$, $[QOR]=b$, $[ROS]=c$ y $[SOP]=d$, tenemos enton...
por Gianni De Rico
Lun 01 Jun, 2020 12:37 pm
Foro: Geometría
Tema: Rioplatense 2008 N1 P2
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Re: Rioplatense 2008 N1 P2

Tomando la idea de Diego, dejo una sin trigonometría Rioplatense 2008 N1 P2.png Vamos a definir varios puntos. Sea $D$ tal que $C$ es el punto medio de $BD$, $E$ en $DP$ tal que $BE$ es bisectriz de $\angle DBP$, $F$ en $AC$ tal que $BF$ es bisectriz de $\angle CBA$, $N$ el punto donde la perpendicu...
por Gianni De Rico
Sab 30 May, 2020 1:37 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Río 2008 5 Nivel 3
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Re: Río 2008 5 Nivel 3

Solución: Rioplatense 2008 N3 P5.png Primero que nada, notemos que $\frac{BK}{KC}=\frac{BX}{XC}$ ya que $KX$ es bisectriz de $\angle BKC$, y también$$\frac{ZT}{TY}=-\frac{ZT}{TY}\frac{YP_{\infty YZ}}{P_{\infty YZ}Z}=-\{Z,Y;T,P_{\infty YZ}\}\underset{A}{=}-\{B,C;K,U\}=-\frac{BK}{KC}\frac{CU}{UB}=\fr...
por Gianni De Rico
Sab 30 May, 2020 9:49 am
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Rioplatense 2008 N3 P3
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Re: Rioplatense 2008 N3 P3

Excelente problema Solución: Si $k+1$ no es una potencia de $2$, entonces tiene un divisor primo impar $p$, tomando $n=p$, tenemos que $k^p+1\equiv k+1\equiv 0\pmod p$ por Fermatito, de donde $p\mid k^p+1$, en particular, al ser primo, divide a su mayor divisor impar. Si $k+1$ es una potencia de $2$...
por Gianni De Rico
Vie 29 May, 2020 6:56 pm
Foro: Geometría
Tema: Rioplatense 2008 N2 P3
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Re: Rioplatense 2008 N2 P3

Solución: Rioplatense 2008 N2 P3.png Sabemos que $\angle BHC=180^\circ -\angle BAC$ y que $\angle BOC=2\angle BAC$. Como $HOCB$ es cíclico, $\angle BHC=\angle BOC$, de donde $\angle BAC=60^\circ$. Ahora, sabemos que $\angle BAH=\angle CAO$ porque $H$ y $O$ son conjugados isogonales en $ABC$, si lla...
por Gianni De Rico
Vie 29 May, 2020 3:55 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Zonal 2008 N2 P2
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Zonal 2008 N2 P2

Un biólogo que estudia una colonia de aves migratorias hizo las siguientes observaciones a lo largo de un día: A mediodía se fueron $30$ machos que ya no regresaron, y quedaron en la colonia $2$ hembras por cada macho. A la tarde se fueron $90$ hembras, que ya no regresaron, y quedaron en la colonia...
por Gianni De Rico
Vie 29 May, 2020 3:48 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Zonal 2008 N3 P3
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Zonal 2008 N3 P3

Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$, y lados no paralelos $BC$ y $DA$, con $B\widehat AD=A\widehat DC=90^\circ$. La perpendicular a la diagonal $AC$ trazada desde $B$ corta a $AC$ en $E$. Si $AB=125$, $AE=35$ y $CE=50$, calcular el área del trapecio $ABCD$.
por Gianni De Rico
Vie 29 May, 2020 3:46 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Zonal 2008 N3 P2
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Zonal 2008 N3 P2

Mauro y Nico se reparten una bolsa de caramelos con el siguiente procedimiento: Mauro saca uno, Nico saca dos, Mauro saca tres, Nico saca cuatro, y así siguiendo, cada uno en su turno saca uno más que los que acaba de sacar el otro. Cuando uno de los dos se encuentra con que no quedan suficientes ca...