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Sisiyase, es un problema viejo, pero me gustó esta solución Vamos a usar los siguientes dos lemas Lema 1: Sea $ABC$ un triángulo, entonces la bisectriz de $\angle A$ y la mediatriz de $BC$ se cortan en el circuncírculo de $ABC$. Dem: (Es algo bastante conocido, pero como sale fácil la dejo igual) Su...

Otra forma de terminarlo Como dijeron arriba, $x(3f-13)=f+9$, entonces $3f-13\mid f+9$, así que $3f-13\mid 3(f+9)-(3f-13)$, por lo que $3f-13\mid 40$. Como $3f-13$ es positivo porque $f+9$ y $x$ lo son, solamente puede ser alguno de los $8$ divisores positivos de $40$ ($1,2,4,5,8,10,20,40$), además,...

abcd escribió: ↑

Jue 31 Dic, 2020 5:08 pm

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Podemos escribir el problema como un sistema de ecuaciones:
$$f+3=px, p+x=2f$$ donde $x$ es un entero positivo, $p$ es la cantidad de dinero que tiene Pablo y $f$ es la cantidad de dinero que tiene Fernando.

No debería ser

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$p+3=(f-3)x$

$f+x=3(p-x)$

?

El signo \$ se usa para arrancar el código en $\LaTeX$, para que eso no pase tenés que poner \\$ (lo mismo si querés usarlo adentro del código).

Notemos que más que los cuadraditos, lo importante acá son los vértices. Con eso en mente, vamos a pintarlos con la coloración de ajedrez, de blanco y negro, lo bueno de esto es que cada diagonal va entre vértices de un mismo color. Para terminar de "cerrar" la figura, agregamos $4$ vértices más, $...

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Dejá, había leído $\angle BAC=80^\circ$, con razón no cerraba...

Fran5 escribió: ↑

Mar 22 Dic, 2020 9:58 am

Problema 187
Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $\angle ABC = \angle ACB = 80$. Si $D$ está en el segmento $AB$ con $AD = BC$, hallar el ángulo $\angle BDC$

$AD=BC$?

Problema 186

Sea $M$ un punto interior al triángulo $ABC$. La recta $AM$ corta al lado $BC$ en $N$, el punto $K$ es el simétrico de $M$ respecto de $BC$, y la recta $BC$ corta a la recta $AK$ en $P$.
Si $\angle BMP=\angle CMN$, demostrar que $\angle BAP=\angle CAN$.

Solución 185 Bueno, tenemos circunferencias tangentes, así que vamos a invert... nah mentira, no invertimos nada. Sea $O$ el centro de $\omega _2$, notemos que como la tangente por $C$ es perpendicular a $CO$ y paralela a $\ell$, que a su vez es perpendicular a $BO$, entonces $C,O,B$ están alineado...