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Solución: Sean $H$ el ortocentro de $ABC$, $H'$ el reflejo de $H$ por $BC$, $F$ el punto medio de $DH'$, y $G$ el punto medio de $BC$. Y supongamos WLOG $AB<AC$. Por las reflexiones del ortocentro, tenemos que $H,G,Q$ están alineados y que $H'\in \Gamma$. Luego, por base media tenemos $EG\parallel ...

Solución: Pintamos dos veces el tablero: OMCC 2019 P6 coloraciones.png En ambos casos, cada triminó cubre exactamente una casilla de cada color, y al haber $22$ casillas rojas, $21$ verdes y $21$ blancas, la única casilla que puede quedar sin cubrir debe ser roja. Luego, las únicas casillas que pue...

Solución: Sean $F$ y $G$ los pies de las alturas desde $B$ y $C$, respectivamente. Por arco capaz tenemos $\angle CAD=\angle CBA$, luego $\angle BDE=\angle FDA=90°-\angle FAD=90°-\angle CAD=90°-\angle CBA$. Por otro lado, $\angle BCE=\angle BCG=90°-\angle CBG=90°-\angle CBA$. Entonces $BCDE$ es cíc...

Un triminó es una ficha rectangular de $1\times 3$. ¿Es posible cubrir un tablero cuadrado de $8\times 8$ con $21$ triminós, de modo que quede exactamente un cuadradito de $1\times 1$ sin cubrir? En caso afirmativo, determine todas las posiciones posibles en el tablero del cuadradito que queda sin c...

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$.
Demostrar que $$a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ca}+c\sqrt{c^2+6ab}\leqslant \frac{3\sqrt{2}}{4}$$

Sean $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $l$ la tangente a $\Gamma$ por $A$. Las alturas desde $B$ y $C$ se extienden y cortan a la recta $l$ en $D$ y $E$ respectivamente. Las rectas $DC$ y $EB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Demostrar que el triángulo $APQ$ e...

Sean $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circuncírculo. Sean $D$ el pie de la altura trazada desde $A$ al lado $BC$, $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, y $Q$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$. Sea $E$ el punto medio de $DQ$. Demostrar que las perpendiculares a $EM$ y $EN$ que p...

Se tiene un polígono regular $P$ con $2019$ vértices, y en cada vértice hay una moneda. Dos jugadores, Azul y Rojo, van a jugar alternadamente, empezando por Azul, de la siguiente manera: Primero Azul elige un triángulo con vértices en $P$ y pinta el interior del triángulo de azul, después Rojo elig...

Sea $N=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro cifras. Llamamos plátano power al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha _1\alpha _2\ldots \alpha _k}$ que puede insertarse entre los números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal forma que el nuevo número $\overline{ab\alpha _1\alpha _2\...

Solución: Sean $ABCDEF$ el hexágono y $P$ el punto del enunciado. Supongamos WLOG que $PA=PB=1$ y $PC=2$, además, $AB=x$. Sean $O$ el centro del hexágono y $M$ el punto medio de $AB$, entonces $OC=x$ y $OM=\frac{\sqrt{3}}{2}x$. Como $PA=PB=1$ entonces $P$ está en la mediatriz de $AB$, de donde $O,P...