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Para contar todas las boletas premiadas, lo que vamos a hacer es contar todas las boletas posibles y después restar las que no están premiadas. Como los números son todos distintos, en total hay $100\cdot 99\cdot 98$ boletas. Las boletas que no dan un múltiplo de $6$ son las que tienen todos número...

Al problema Como $BC$ es tangente a $k$ es $C$, entonces por ángulo semiinscripto tenemos que $\angle DCB=\angle DAC$, y por el mismo motivo, $\angle ACD=\angle CBD$. De esto obtenemos dos cosas, primero, que $ACD$ y $CBD$ son semejantes, y segundo, que$$\angle ADE=\angle ACD+\angle DAC=\angle ACD+\...

Problema 178

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$, y sean $D$ el punto medio del arco $BC$ que contiene al punto $A$ del circuncírculo de $ABC$, y $E$ el pie de la perpendicular desde $D$ a $CA$.
Hallar la razón $\frac{CA+AB}{CE}$.

Solución 177 Primero que nada, se ve fácil que si $P$ está en una mediana, entonces $P$ cumple. Queremos ver que son los únicos. Usamos coordenadas baricéntricas descarga.jpg respecto de $ABC$, llamamos $[\mathcal{P}]$ al área del polígono $\mathcal{P}$ y suponemos WLOG que $[ABC]=1$. Sea $P=(x,y,z...

Problema 177 Sea $P$ un punto variable en el interior de un triángulo $ABC$. Si $AP,BP,CP$ intersectan a $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente, hallar el lugar geomérico de los puntos $P$ tales que $\text{Area}(PAF)+\text{Area}(PBD)+\text{Area}(PBD)+\text{Area (PCE)}=\frac{1}{2}\text{Area}(ABC).$ E...

*no se cómo puedo justificar que esto se cumple siempre,si alguien lo sabe lo puede publicar?Gracias :) Hola, esto es justamente por la suma de Gauss Fijate que como la primer posición usa un número, la segunda posición usa dos números y siguiendo así la posición $n$ usa $n$ números, entonces el úl...

Como los triángulos $ADE$ y $DEC$ son isósceles, entonces $DX\perp AE$ y $EX\perp CD$, luego, si $H$ es el punto de intersección de las rectas $AE$ y $CD$, tenemos que $H$ es el ortocentro de $DEX$, es decir que $XH\perp DE$, así que necesitamos demostrar que $X,H,O$ están alineados. Ahora, como $H...

Sergiohuang2004 escribió: ↑

Lun 12 Oct, 2020 8:50 pm

Me dicen como usar el spoiler? porque lo pongo me aparece el spoiler en blanco pero el texto afuera
como lo siguiente

Tenés que ponerlo entre los dos bloques de spoiler, por ejemplo
Produce

Spoiler: mostrar

Esto es un spoiler

PD: Ahí arreglé el spoiler en tu mensaje

Problema 175 Bosnia-Herzegovina TST 2015 Sea $D$ un punto en el lado $BC$ del triángulo $ABC$, los puntos $E$ y $F$ en los lados $CA$ y $AB$, respectivamente, son tales que $ABDE$ y $ACDF$ son cíclicos. La mediatriz de $EF$ corta al lado $BC$ en $S$, y la recta $EF$ corta a la recta $BC$ en $T$. El...

Solución 174 Por comodidad, digamos que $ABCD$ tiene lado $1$, entonces la condición sobre $P$ se convierte en $AP^2=1-AP$, tomando la raíz positiva nos queda que $AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, entonces $\frac{BP}{AP}=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi$ (la cuadrática con $AP$ ...