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Dejo una solución un poco (mucho) más teórica que las anteriores, pero que en el fondo explota la misma idea que la primer solución oficial Solución: FOFO 2019 P2 - Figura de análisis.png Sean $E$ el punto de intersección de la perpendicular a $BC$ por $D$ y la mediatriz de $AD$, y $M$ el punto medi...

Resultados FOFO 9 años. Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO. Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. ...

Tomás Morcos Porras escribió: ↑

Lun 14 Oct, 2019 10:39 pm

En el [5], cuando dice "varios" básicos, puede hacer referencia a uno solo?
Por ejemplo, 2 es la suma de un solo básico (2)

Sí.

Solución Oficial: FOFO 2019 P6 - Solución Oficial - Figura de análisis.png Vamos a usar una idea muy importante y muy útil cuando hay un punto medio, que es la Simetría Central . Sea $G$ la reflexión de $H$ por $M$. Muchas veces es más fácil probar algo más fuerte que lo pedido, vamos a hacer eso, ...

Sean $ABCD$ un paralelogramo tal que $\angle A>90^{\circ}$, $H$ el pie de la perpendicular desde $A$ a la recta $BC$, y $M$ el punto medio de $AB$. La recta $CM$ corta nuevamente al circuncírculo de $ABC$ en el punto $K$.

Demostrar que $C,D,H,K$ están sobre una misma circunferencia.

Nos inscribimos todos (?)

Tenés razón, me fui mucho con lo de demostrar que todos los puntos que tenía colineales en el dibujo eran de verdad colineales (y con usar una transformación proyectiva distinta de la proyección por un punto), y se me pasó esa parte más simple. De todas formas, no está mal notar cuántas cosas más de...

Sin proyectiva, inversión, ni analítica Demostración: Sean $C$ y $D$ sobre la recta $AB$ (con $D,A,C,B$ en ese orden), tales que $\frac{AC}{BC}=k=\frac{AD}{BD}$ (con $k\neq 1$), $\Gamma$ la circunferencia de diámetro $CD$, y $O$ el centro de $\Gamma$. Por último, sea $P$ un punto no perteneciente a ...

El problema puede generalizarse aún más Sean $M$ y $N$ dos puntos cualesquiera. Sean $A,B,P,Q$ puntos sobre la recta $MN$ tales que $\{A,B;M,N\}=-1=\{P,Q;M,N\}$, y sea $C$ un punto exterior a la recta $MN$. Las rectas $CN,CP,CQ$ cortan a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en los punt...

¿Angulitos? ¿Qué es eso? ¿Se come? Generalización: Sea $ABCD$ un trapecio con $AB\parallel CD$ e inscrito en la circunferencia $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ dos puntos en la recta $AB$ tales que $P$ y $Q$ son simétricos respecto del punto medio de $AB$. Sean $E$ y $F$ los segundos puntos de intersección ...