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Solución: IMO 2001 P5.png Sean $P'$ en la semirrecta $AB$ tal que $AP'=AB+BP$ y $Q'$ en la semirrecta $AC$ tal que $AQ'=AQ+QB$, y sea $\angle ABC=4\beta$. Supongamos que $AQ'>AC$. Notemos que $AP'=AQ'$, y como $\angle P'AQ'=\angle BAC=60°$, tenemos que $AP'Q'$ es equilátero, entonces la bisecetriz ...

Solución: Sea $[\mathcal{F}]$ el área de la figura $\mathcal{F}$, notemos que $\frac{AO}{AD}=\frac{[ABO]}{[ABD]}$ y $\frac{AO}{AD}=\frac{[ACO]}{[ACD]}$, entonces$$\frac{AO}{AD}=\frac{[ABO]+[ACO]}{[ABD]+[ACD]}=\frac{[ABOC]}{[ABC]}$$análogamente$$\frac{BO}{BE}=\frac{[ABCO]}{[ABC]} \\ \frac{CO}{CF}=\f...

Solución: Por Vieta (o expandiendo el polinomio $(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)$), tenemos que$$r_1r_2r_3r_4=\frac{5}{4}$$Sabemos también que$$\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}=1$$queremos relacionar la suma y el producto de reales positivos, la idea clásica es AM-GM, como no po...

Otro problema que sale con esto jujumas Solución: Ibero 1985 P2.png Marcamos los puntos $P_A$, $P_B$ y $P_C$ exteriores al triángulo $ABC$ de modo que $BP_AC\equiv APC$, $CP_BA\equiv CPB$ y $AP_CB\equiv APC$. Miremos el triángulo $PCP_A$, de las definiciones tenemos que $P_AC=PC$ y $\angle BCP_A=\an...

Solución: Es claro que ninguno puede ser $0$. Vamos primero con la manipulación algebraica$$ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-\left (a^2+b^2+c^2\right )}{2}=183$$ahora, como $a+b+c=24$, entonces o bien los $3$ son pares o solamente uno de ellos es par. Supongamos que los $3$ son pares, entonces $183=ab+bc+c...

Claro, yo me refería al parecido estético nomás. Creo que nadie sabe muy bien por qué ese problema es de TN, pero era el N3 de la SL, así que algún approach por ese lado debe haber...

Y también tiene un aire a este, que aparentemente era de Teoría de Números...

#1234

Colgué con esto, acá va el

Problema 150:

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo de circuncírculo $\Gamma$ y ortocentro $H$. Sea $D$ tal que $BA=BD$ y $AD$ es tangente a $\Gamma$, y sea $E$ en $AC$ tal que $BA=BE$.
Demostrar que $D,E,H$ están alineados.

Esta se queda del lado claro Solución: Llamamos $x$ al área de $ABC$, $y$ al área de $APC$ y $\ell$ al lado del cuadrado. Sabemos entonces que el área de $ACD$ es $x$ (porque $ABCD$ es un cuadrado). Entonces el área de $BCPA$ es $x+y$ y el área de $APCD$ es $x-y$, por dato sabemos que $x+y=3(x-y)$ d...

No me queda muy en claro el enunciado, así que por las dudas van todos los casitos :) Cuando dice "en el lado $AB$" siempre se refiere al segmento $AB$. Si por ejemplo dijera "en $AB$", ahí sí podría pasar que esté en la recta pero no en el segmento. Mínimo detalle técnico El segmento $AB$ está con...