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Sin angulitos Solución: Sean $F$ el segundo punto de intersección de $AM$ y el circuncírculo de $ADE$, $G=DE\cap MY$, y sea $H$ el ortocentro de $ABC$. Como $HD\perp AD$ y $HE\perp AE$, tenemos que $ADHE$ es cíclico y $AH$ es diámetro de $\odot ADE$. Por la propiedad de la mediana de un triángulo re...

Solución: Sean $F'\in AB$ tal que $\angle F'EC=\angle BEC$, y $G=EF'\cap BD$, $H$ el segundo punto de intersección de $EG$ y $\odot BCG$, $I=AE\cap BC$. Como $\angle GEC=\angle F'EC=\angle BEC=\angle GDC$, tenemos que $CDEG$ es cíclico, y como $DC=DE$, tenemos que $GD$ es la bisectriz de $\angle CG...

Solución: Sean $D$ y $E$ los pies de las alturas desde $B$ y $C$ en $ABC$, $G$ el pie de la perpendicular desde $H$ a $AM$ y $H'$ el reflejo de $H$ por $M$. Por las reflexiones del ortocentro tenemos $QH'\perp AQ\perp QH$, por lo que $Q,H,H'$ están alineados, de donde $Q,H,M$ están alineados. Ademá...

Solución: Sea $H$ el conjugado armónico de $D$ con respecto a $\{B,C\}$, como $AD,BE,CF$ concurren en $P$, entonces $E,F,H$ están alineados. Sea $G$ el punto medio de $DH$, luego $GB\cdot GC=GD^2$, de donde $\frac{GB}{GD}=\frac{GD}{GC}$. Como $FK\parallel BC\parallel BD$ y $EJ\parallel BC\parallel ...

Solución: Representamos el problema con un grafo $G$ en el que los usuarios son los nodos y dos nodos $A$ y $B$ están unidos por una arista si y sólo si $A$ y $B$ son amigos. Entonces la operación consiste en tomar tres nodos $A,B,C$ tales que $AB$ y $AC$ son aristas pero $BC$ no lo es, eliminar la...

Usando la observación de Mati sobre la cantidad de factores 2 a la derecha, y acotando el lado derecho, tenemos que: $(\frac{n(n-1)}{2})!<2^nn$ No termino de entender de dónde sale esto, pero fijate que en ese caso En el lado izquierdo tenés más de $n+1$ términos, de los cuales $n$ son mayores que ...

Otra distinta Solución: (a) Veamos por inducción en $n$ que para toda configuración el proceso se detiene tras un número finito de operaciones, y que una configuración llega a tener todas las monedas en posición $H$ si y sólo si su última moneda está en posición $H$. El caso base $n=1$ es cierto, pu...

Solución: Supongamos WLOG $AB<AC$. Sean $\angle CAB=2\alpha$, $\angle ABC=2\beta$, $\angle BCA=2\gamma$. Como $DEF$ es el triángulo de contacto de $ABC$, tenemos $\angle FDE=90°-\alpha$, $\angle DEF=90°-\beta$, $\angle EFD=90°-\gamma$. Lema 1: $REF\simeq ICB$ Demostración: Sea $G=DR\cap EF$, luego ...

Solución: Sean $P_2$, $Q_2$ las intersecciones de $AA_1$ y $BB_1$ con el circuncírculo de $ABC$. Luego $$\angle CP_2A=\angle CBA=\angle CP_1P$$ De modo que $CP_1P_2P$ es cíclico. Similarmente, $CQ_1Q_2Q$ lo es. Además, $$\angle Q_2PQ=\angle Q_2AB=\angle Q_2P_2B$$ De modo que $PQQ_2P_2$ es cíclico. ...

Solución: Sea $P(a,b)$ la proposición $f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))$. Entonces $$P(0,b)\Rightarrow f(0)+2f(b)=f(f(b))$$ Luego $$P(0,x+y)\Rightarrow f(0)+2f(x+y)=f(f(x+y))=f(2x)+2f(y)$$ Ahora, sea $Q(a,b)$ la proposición $f(2a)+2f(b)=2f(a+b)+f(0)$ Tenemos que $$Q(a,a)\Rightarrow f(2a)+2f(a)=2f(2a)+f(0)\Rig...