Se encontraron 1212 coincidencias

por Gianni De Rico
Sab 23 May, 2020 10:00 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: IMO 2001 - P5
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Re: IMO 2001 - P5

Solución: IMO 2001 P5.png Sean $P'$ en la semirrecta $AB$ tal que $AP'=AB+BP$ y $Q'$ en la semirrecta $AC$ tal que $AQ'=AQ+QB$, y sea $\angle ABC=4\beta$. Supongamos que $AQ'>AC$. Notemos que $AP'=AQ'$, y como $\angle P'AQ'=\angle BAC=60°$, tenemos que $AP'Q'$ es equilátero, entonces la bisecetriz ...
por Gianni De Rico
Jue 21 May, 2020 12:12 pm
Foro: General
Tema: Iberoamericana 1985 P6
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Re: Iberoamericana 1985 P6

Solución: Sea $[\mathcal{F}]$ el área de la figura $\mathcal{F}$, notemos que $\frac{AO}{AD}=\frac{[ABO]}{[ABD]}$ y $\frac{AO}{AD}=\frac{[ACO]}{[ACD]}$, entonces$$\frac{AO}{AD}=\frac{[ABO]+[ACO]}{[ABD]+[ACD]}=\frac{[ABOC]}{[ABC]}$$análogamente$$\frac{BO}{BE}=\frac{[ABCO]}{[ABC]} \\ \frac{CO}{CF}=\f...
por Gianni De Rico
Jue 21 May, 2020 11:03 am
Foro: General
Tema: Iberoamericana 1985 P3
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Re: Iberoamericana 1985 P3

Solución: Por Vieta (o expandiendo el polinomio $(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)$), tenemos que$$r_1r_2r_3r_4=\frac{5}{4}$$Sabemos también que$$\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}=1$$queremos relacionar la suma y el producto de reales positivos, la idea clásica es AM-GM, como no po...
por Gianni De Rico
Jue 21 May, 2020 10:34 am
Foro: General
Tema: Iberoamericana 1985 P2
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Re: Iberoamericana 1985 P2

Otro problema que sale con esto jujumas Solución: Ibero 1985 P2.png Marcamos los puntos $P_A$, $P_B$ y $P_C$ exteriores al triángulo $ABC$ de modo que $BP_AC\equiv APC$, $CP_BA\equiv CPB$ y $AP_CB\equiv APC$. Miremos el triángulo $PCP_A$, de las definiciones tenemos que $P_AC=PC$ y $\angle BCP_A=\an...
por Gianni De Rico
Mié 20 May, 2020 11:47 pm
Foro: General
Tema: Iberoamericana 1985 P1
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Re: Iberoamericana 1985 P1

Solución: Es claro que ninguno puede ser $0$. Vamos primero con la manipulación algebraica$$ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-\left (a^2+b^2+c^2\right )}{2}=183$$ahora, como $a+b+c=24$, entonces o bien los $3$ son pares o solamente uno de ellos es par. Supongamos que los $3$ son pares, entonces $183=ab+bc+c...
por Gianni De Rico
Mié 20 May, 2020 1:14 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 8 (C1)
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Re: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 8 (C1)

Claro, yo me refería al parecido estético nomás. Creo que nadie sabe muy bien por qué ese problema es de TN, pero era el N3 de la SL, así que algún approach por ese lado debe haber...
por Gianni De Rico
Mié 20 May, 2020 12:28 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 8 (C1)
Respuestas: 5
Vistas: 275

Re: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 8 (C1)

Y también tiene un aire a este, que aparentemente era de Teoría de Números...
por Gianni De Rico
Mar 19 May, 2020 4:14 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

#1234

Colgué con esto, acá va el

Problema 150:

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo de circuncírculo $\Gamma$ y ortocentro $H$. Sea $D$ tal que $BA=BD$ y $AD$ es tangente a $\Gamma$, y sea $E$ en $AC$ tal que $BA=BE$.
Demostrar que $D,E,H$ están alineados.
por Gianni De Rico
Dom 17 May, 2020 2:15 pm
Foro: Geometría
Tema: Provincial (Misiones) 1997 - Nivel 1 - Problema 2
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Re: Provincial (Misiones) 1997 - Nivel 1 - Problema 2

Esta se queda del lado claro Solución: Llamamos $x$ al área de $ABC$, $y$ al área de $APC$ y $\ell$ al lado del cuadrado. Sabemos entonces que el área de $ACD$ es $x$ (porque $ABCD$ es un cuadrado). Entonces el área de $BCPA$ es $x+y$ y el área de $APCD$ es $x-y$, por dato sabemos que $x+y=3(x-y)$ d...
por Gianni De Rico
Dom 17 May, 2020 9:15 am
Foro: Geometría
Tema: Provincial 1997 - Nivel 2 - Problema 3
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Re: Provincial 1997 - Nivel 2 - Problema 3

No me queda muy en claro el enunciado, así que por las dudas van todos los casitos :) Cuando dice "en el lado $AB$" siempre se refiere al segmento $AB$. Si por ejemplo dijera "en $AB$", ahí sí podría pasar que esté en la recta pero no en el segmento. Mínimo detalle técnico El segmento $AB$ está con...