Se encontraron 357 coincidencias

por Joacoini
Jue 17 Sep, 2020 7:26 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Pretorneo de las Ciudades - Nivel Mayor - Problema 2
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Re: Pretorneo de las Ciudades - Nivel Mayor - Problema 2

Sea $P$ un punto cualquiera del arco $AC$, veamos que el punto medio $M$ de $AC$ es el ortocentro de $OXY$. Como las mediatrices de $APC$ concurren en $O$ tenemos que $OM\perp AC$, $AP\perp OX$ y $CP\perp OY$. Por base media tenemos que $XY\parallel AC\Rightarrow OM\perp XY$, $YM\parallel AP\Righta...
por Joacoini
Mié 10 Jun, 2020 7:58 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Problema 2 APMO 2006
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Re: Problema 2 APMO 2006

Solución: Vamos a demostrar por inducción que todo entero positivo $n$ se puede expresar de la forma $n=\varphi^{a_1}+\varphi^{a_2}+...+\varphi^{a_k}$ Donde $a_1<a_2<...<a_k$ y $a_{i+1}-a_i\geq 2$. Para $n=1$ tenemos que $1=\varphi^{0}$, supongamos que para $n$ lo podemos construir, veamos que pasa ...
por Joacoini
Mar 09 Jun, 2020 10:45 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema D
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema D

Sea $P(a, b, c)$ la proposición del enunciado. Sea $a\geq 2$ y $n>m$ naturales entonces $f^{a^n-a^m}(a^n)=a^m$. Notemos que si $f^{x-y}(x)=y$ y $f^{x-z}(x)=z$ entonces $f^{y-z}(y)=z$ (1) y si $f^{x-y}(x)=y$ y $f^{y-z}(y)=z$ entonces $f^{x-z}(x)=z$ (2) Si demostramos que $f^{a^n-a^{n-1}}(a^n)=a^{n-1...
por Joacoini
Lun 08 Jun, 2020 11:39 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: APMO 2020 Problema 3
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APMO 2020 Problema 3

Determinar todos los enteros positivos $k$ para los cuales existe un entero positivo $m$ y un conjunto $S$ de enteros positivos tal que cualquier entero $n>m$ se puede escribir como suma de elementos de $S$ de exactamente $k$ maneras.
por Joacoini
Lun 08 Jun, 2020 11:35 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: APMO 2020 Problema 2
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APMO 2020 Problema 2

Demostrar que $r=2$ es el mayor número real $r$ que satisface la siguiente condición: Si una sucesión $a_1,a_2,\ldots$ de enteros positivos satisface las desigualdades$$a_n\leq a_{n+2}\leq \sqrt{a_n^2+ra_{n+1}}$$para todo entero positivo $n$, entonces existe un entero positivo $M$ tal que $a_{n+2}=a...
por Joacoini
Lun 08 Jun, 2020 11:27 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: APMO 2020 Problema 1
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APMO 2020 Problema 1

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Sea $D$ un punto del lado $BC$. La tangente a $\Gamma$ por $A$ corta a la recta paralela a $BA$ por $D$ en el punto $E$. El segmento $CE$ corta nuevamente a $\Gamma$ en $F$. Supongamos que $B, D, F, E$ son concíclicos. Demostrar que $A...
por Joacoini
Vie 05 Jun, 2020 12:15 am
Foro: Presentaciones
Tema: Arrancó la COFFEE: "Ariel Zylber"
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Re: Arrancó la COFFEE: "Ariel Zylber"

Esta bien que la función del D sea de N en N?
por Joacoini
Vie 29 May, 2020 5:42 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Rioplatense 2008 N1 P6
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Rioplatense 2008 N1 P6

¿Es posible colorear los puntos del plano que tienen coordenadas enteras con tres colores (deben usarse los tres colores) de manera que no haya ningún triángulo rectángulo con los tres vértices de colores diferentes?
por Joacoini
Vie 29 May, 2020 5:41 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Rioplatense 2008 N1 P5
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Rioplatense 2008 N1 P5

Alrededor de una circunferencia están escritos $20$ números enteros. Para cada uno de ellos, se calcula la suma de los $10$ números que le siguen en el sentido de las agujas del reloj. Terminado esto, cada uno de los $20$ números es sustituido por su correspondiente suma. Demostrar que después de re...
por Joacoini
Vie 29 May, 2020 5:39 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Rioplatense 2008 N1 P4
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Rioplatense 2008 N1 P4

Hallar el menor número entero positivo $N$ que cumple las siguientes dos condiciones:
  • $N$ tiene por lo menos dos factores primos distintos.
  • Para cualesquiera $p$ y $q$ factores primos de $N$, con $p$ distinto de $q$, la suma $p+q$ divide a $N$.