Se encontraron 191 coincidencias

por Joacoini
Sab 19 Oct, 2019 2:02 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Nacional 1997 N2 P6
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Nacional 1997 N2 P6

Se divide un triángulo equilátero de lado $10$ en cien triangulitos equiláteros de lado $1$, mediante paralelas a los lados del triángulo. Se elige un paralelogramo con sus cuatro vértices en vértices de triangulitos y sus cuatro lados paralelos a los lados del triángulo. ¿De cuántas maneras se pued...
por Joacoini
Sab 19 Oct, 2019 1:58 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Nacional 1998 N2 P6
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Nacional 1998 N2 P6

Cada casilla de un tablero de $8 \times 8$ está coloreada de blanco o de negro. Cada operación permitida consiste en elegir en el tablero cualquier rectángulo de $3 \times 4$ o de $4 \times 3$ que cubra exactamente $12$ casillas y cambiar simultáneamente los colores de esas $12$ casillas (las blanca...
por Joacoini
Sab 19 Oct, 2019 1:48 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Nacional 2009 - P6 N3
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Re: Nacional 2009 - P6 N3

Supongamos que hay finitos, entonces existe $k$ tal que cada entero entre $2$ y $9$ inclusive ya se ha usado al menos una vez para obtener $a_{n+1}$ a partir de $a_n$ y $S_{n}<S_{n+1}$ para todo $n\geq k$. Como $9$ ya se ha usado para obtener $a_{n+1}$ a partir de $a_n$, tenemos que $9\mid a_n$ par...
por Joacoini
Mié 16 Oct, 2019 10:49 pm
Foro: Problemas
Tema: FOFO 9 años Problema 2
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Re: FOFO 9 años Problema 2

Trazamos la tangente por $A$ al circuncirculo de $ABC$ y corta a $BC$ en $P$, si $Q$ es la intersección de $OA$ con la perpendicular a $BC$ por $D$ entonces $\angle QDP=\angle QAP=90$ por lo que $PAQD$ es cíclico y $PQ$ es diametro. Por seminscrito $\angle PAB=\angle ACB\Rightarrow \angle PAD=\angl...
por Joacoini
Mié 16 Oct, 2019 1:02 pm
Foro: Problemas
Tema: FOFO 9 años Problema 7
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Re: FOFO 9 años Problema 7

Sea $c_n$ la cantidad de combinaciones posibles para un público copado de $n$ personas y $o_n$ la cantidad de combinaciones para un público ortiva de $n$ personas. Si $d_n$ la cantidad de combinaciones posibles para un público copado de $n$ personas que terminan en $T-A$ y $p_n$ la cantidad de comb...
por Joacoini
Mar 15 Oct, 2019 12:08 pm
Foro: Problemas
Tema: FOFO 9 años Problema 8
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Re: FOFO 9 años Problema 8

Lo hice con inducción, puesto que con 1 cumple, demostré que si consideramos que un conjunto $S_n$ cumple, el $S_{n+1}$ también. Por esto, se cumple para todos los n y la partición siempre será posible. Este problema lo demostraré con inducción, considerando los casos donde $A$ tiene $1$, $n$ y $n+...
por Joacoini
Mar 15 Oct, 2019 8:30 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: IGO 2019 - Nivel Medio - P4
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Re: IGO 2019 - Nivel Medio - P4

Trazamos la perpendicular desde $A$ a $XY$, la cual corta a $DC$ en $E$, a la circunferencia $AKB$ en $H$ y a la circunferencia $APD$ en $H'$, si demostramos que $H'$ es la reflexión de $H$ por $XY$ por reflexiones del ortocentro estamos, esto es lo mismo que probar que el trapecio $HPCH'$ es isósc...
por Joacoini
Sab 12 Oct, 2019 2:00 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Nacional 2002 N1 P1
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Re: Nacional 2002 N1 P1

Por qué $A$ no puede ser de Pablo?
por Joacoini
Vie 11 Oct, 2019 10:23 am
Foro: General
Tema: Arrancó el FOFO 9 años
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Re: Arrancó el FOFO 9 años

[11/10 10:16] Joacoini: Tengo una duda del 4, los prisioneros pueden charlar entre ellos para diseñar una estrategia antes de que los coloquen en ronda y les pongan los sombreros? [11/10 10:16] Joacoini: Si la respuesta es positiva, pueden charlar la estrategia antes o después de que les dicen cuale...
por Joacoini
Jue 10 Oct, 2019 10:41 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 5
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Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 5

Si $n<10^3\Rightarrow n^2<10^6\Rightarrow n^3-1<10^6n-1$. Por lo que $n\geq 10^3$. Como $10^6n-1\mid n^3-1$ tenemos que $10^6n-1\mid (10^{12}n^2+10^6n+1)(10^6n-1)-10^{18}(n^3-1)=10^{18}-1\Rightarrow (10^6n-1)k=10^{18}-1$ $(10^6n-1)k=10^6nk-k=10^{18}-1\Rightarrow 10^6nk=10^{18}+k-1\Rightarrow 10^6\m...