Se encontraron 350 coincidencias

por Joacoini
Vie 29 May, 2020 5:42 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Rioplatense 2008 N1 P6
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Rioplatense 2008 N1 P6

¿Es posible colorear los puntos del plano que tienen coordenadas enteras con tres colores (deben usarse los tres colores) de manera que no haya ningún triángulo rectángulo con los tres vértices de colores diferentes?
por Joacoini
Vie 29 May, 2020 5:41 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Rioplatense 2008 N1 P5
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Rioplatense 2008 N1 P5

Alrededor de una circunferencia están escritos $20$ números enteros. Para cada uno de ellos, se calcula la suma de los $10$ números que le siguen en el sentido de las agujas del reloj. Terminado esto, cada uno de los $20$ números es sustituido por su correspondiente suma. Demostrar que después de re...
por Joacoini
Vie 29 May, 2020 5:39 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Rioplatense 2008 N1 P4
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Rioplatense 2008 N1 P4

Hallar el menor número entero positivo $N$ que cumple las siguientes dos condiciones:
  • $N$ tiene por lo menos dos factores primos distintos.
  • Para cualesquiera $p$ y $q$ factores primos de $N$, con $p$ distinto de $q$, la suma $p+q$ divide a $N$.
por Joacoini
Vie 29 May, 2020 5:38 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Rioplatense 2008 N1 P3
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Rioplatense 2008 N1 P3

Diremos que un número entero positivo es lindo si es divisible por cada uno de sus dígitos no nulos. Demostrar que no puede haber más de $13$ números lindos consecutivos y hallar $13$ números enteros consecutivos lindos.
por Joacoini
Vie 29 May, 2020 5:37 pm
Foro: Geometría
Tema: Rioplatense 2008 N1 P2
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Rioplatense 2008 N1 P2

Sea $ABC$ un triángulo obtusángulo en $C$ tal que $2B\widehat AC=A\widehat BC$. Sea $P$ un punto sobre el lado $AB$ tal que $BP=2BC$. Sea $M$ el punto medio de $AB$ ($M$ está entre $P$ y $B$). Probar que la perpendicular al lado $AC$, trazada por $M$, corta a $PC$ en su punto medio.
por Joacoini
Vie 29 May, 2020 5:35 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Rioplatense 2008 N1 P1
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Rioplatense 2008 N1 P1

Cada número entero positivo se pinta de azul o de rojo, de modo que se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones: Hay por lo menos un número par pintado de rojo. La suma de cualesquiera dos números rojos distintos es azul. La suma de cualesquiera dos números azules distintos es azul. Sea $R...
por Joacoini
Vie 29 May, 2020 5:32 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Rioplatense 2008 N2 P6
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Rioplatense 2008 N2 P6

Un cuadrado de $2n \times 2n$ se cubre, sin salirse del cuadrado, sin huecos ni superposiciones, con rectángulos de $1 \times 2$ y piezas como las de la figura (que cubren exactamente $4$ cuadrados de $1 \times 1$). Las figuras se pueden girar o dar vueltas. Demuestre que en el recubrimiento hay al ...
por Joacoini
Vie 29 May, 2020 5:29 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Rioplatense 2008 N2 P5
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Rioplatense 2008 N2 P5

Encuentre todas las sucesiones $x_1, x_2, ..., x_{50}$ de $50$ enteros positivos, con máximo común divisor igual a $1$, tales que, para cada par de índices distintos $i$, $j$, el mínimo común múltiplo de $x_i$ y $x_j$ divide a la suma de los cuadrados de los restantes $48$ términos.
por Joacoini
Vie 29 May, 2020 5:27 pm
Foro: Geometría
Tema: Rioplatense 2008 N2 P3
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Rioplatense 2008 N2 P3

Sea $ABC$ un triángulo con $BC=1$ y ángulo $B\widehat AC$ agudo. Sean $D$ la intersección de la bisectriz interior del ángulo $B\widehat AC$ y el lado $BC$, $H$ el ortocentro y $O$ el circuncentro de $ABC$. Encuentre el valor de $AB × AC$ en el caso de que $HOCB$ y $AHDO$ sean cíclicos.
por Joacoini
Vie 29 May, 2020 5:25 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Rioplatense 2008 N2 P2
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Rioplatense 2008 N2 P2

Dos personas participan en un juego donde hay fichas negras, fichas blancas y dos cajas. El primer jugador pone varias de sus fichas en una de las caja, y otras varias en otra caja. Está permitido no poner ninguna ficha en una de las cajas y, además, no es obligatorio poner todas las fichas disponib...