OMA Foros

CONCLUYÓ LA OFO 2023 Hoy se abrirán los threads de los problemas. Próximamente vamos a publicar las soluciones oficiales allí. Mientras tanto, pueden aprovechar para contar qué hicieron en cada problema, o a qué resultados llegaron. Ya está disponible la encuesta para votar sus problemas preferidos...

Aquí publicaremos la solución oficial.

Aquí publicaremos la solución oficial.

Adriano dibuja en un pizarrón un cuadrado y $9$ rectas. Cada una de las rectas divide al cuadrado en dos cuadriláteros, de áreas $78$ y $86$. Demostrar que existen $3$ de las $9$ rectas que pasan por un mismo punto.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $S$ la intersección de sus diagonales. Demostrar que $ABCD$ tiene una circunferencia inscrita si y sólo si los incentros de $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$ son concíclicos.

Se puede para todo $k$, la idea es armarte una figura que cumpla las diagonales pero que tenga exactamente una casilla pintada o bien ninguna en cada fila y columna y luego copiar esa figura $k^2$ formando un tablero de $k\times k$ evitando que las diagonales de una copia toquen otra. Dejo los ejem...

Aquí publicaremos la solución oficial.

Arranquemos multiplicando por los tres denominadores, como son todos positivos la desigualdad que nos queda. $(a+b)(a+d)(b+d)+(c+d)(c+b)(b+d)\leq 4(a+c)(a+d)(c+b)$ Con igualdad si y solo si la anterior tambien es igualdad. Usando que $b^2\leq 2b\leq b+2\leq ab+2$ por ser $b\leq 2$ y $1\leq a$ $(a+b...

Tob.Rod escribió: ↑Vie 14 Oct, 2022 1:27 pm
En el Problema 5, ¿Importa que lados se pintan de qué color?
Por ejemplo, sí la casa es un triángulo de lados a, b y c, ¿Pintar a de rojo, b de verde y c de azul es un caso distinto que pintar a de verde, b de de azul y c de rojo?

Sí, importa. Sí, es un caso distinto.