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Parte a: No. $99$, $99^2=9801$, $99^3=970299$ Parte b: Nosotros queremos que, $\forall k\in\mathbb{Z}^+, k\leq 2015$, $\frac{9}{10}(10^n)^k\leq (10^n-1)^k<(10^n)^k$ La segunda desigualdad ocurre siempre. Para la primera, $\frac{9}{10}(10^n)^k\leq (10^n-1)^k\iff \sqrt[k]{\frac{9}{10}}\leq \frac{(10^n...

Observación: El problema original trataba acerca de espías, campos minados y cableados eléctricos. Claramente, Argentina prefiere las hormigas. Solución: Notemos que, la línea, que llamaremos $l$, puede dividirse en partes mediante los puntos de intersección con el polígono, que llamaremos $P$. Las ...

Solución: Por comodiad, diremos que "sí" es $1$ y "no" es $-1$. Además, llamaremos $f(n)$ a la suma de las respuestas hasta el $n$-ésimo habitante. Entonces, $f(n)>0$ sí y sólo sí, hasta ese momento, hubo más respuestas "sí" que "no", y viceversa. Luego, vamos a dividir la fila en grupos, de modo qu...

Observación: De hecho, los triángulos en cuestión son iguales. Lema: Lema: $A_1B_1\parallel A_2B_2$. Demostración: Definamos $A_3$, en la recta $A_1A_2$ con $A_2$ entre $A_1$ y $A_3$ para facilitar la notación; similarmente definimos $B_3$. Notemos que, por cuadriláteros cíclicos, $\angle B_1A_1A_2=...

Solución: Notemos que un dígito no puede ser $0$, ya que $P(n)=0\neq S(n)$. Para números de un dígito, es obvio que todo $1\leq n\leq 9$ es obediente. Si un número de dos dígitos, digamos $a$ y $b$, usamos que $a+b=a\cdot b$ si y sólo si $a=b=2$. $$a+b=a\cdot b$$ implica $$a=(a-1)b$$ que a su vez i...

Solución: Notemos que un dígito no puede ser $0$, ya que $P(n)=0\neq S(n)$. Para números de un dígito, es obvio que todo $1\leq n\leq 9$ es obediente. Si un número de dos dígitos, digamos $a$ y $b$, usamos que $a+b=a\cdot b$ si y sólo si $a=b=2$. $$a+b=a\cdot b$$ implica $$a=(a-1)b$$ que a su vez im...

Solución: Sea $N$ el punto medio de $AE$. Vamos a demostrar que $MXNY$ es un cuadrado, con lo que se concluye que $\angle MXY=45^\circ$. Notamos que $M$, $X$, $N$, $Y$ son puntos medios de los segmentos $GC$, $CA$, $AE$, $EG$, de modo que, $MXNY$ es el cuadrilátero de Varignon de $AEGC$. Entonces, v...

Me inscribo.

Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BZ$ y $CZ$ respectivamente. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la recta paralela a $BC$ por $Z$ con los segmentos $AB$ y $AC$ respectivamente. Como $BD\parallel EZ$, $\triangle ABD\sim\triangle AEZ$. Como $E$ pertenece al segmento $AB$, $AE<AB\Rightarrow EZ<BD...

Solución: Sea $s_n=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{i}a_i}$. Luego, $0\leq s_n\leq \frac{1}{n}$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Además, para $n,m\in\mathbb{N}$ con $n>m$, $s_n-s_m\leq s_n\leq \frac{1}{n}$. Ahora, $s_n=a_1+\frac{1}{2}a_2+\frac{1}{3}a_3+...+\frac{1}{n}a_n$; $s_n-s_1=\frac{1}{2}a_2+\frac{1}{3}a_3+....