Se encontraron 261 coincidencias

por BrunZo
Vie 12 Jun, 2020 7:00 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: XXXIV T. I. de las Ciudades Otoño 2012 N Juvenil Problema 4
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Re: XXXIV T. I. de las Ciudades Otoño 2012 N Juvenil Problema 4

geogebra-export.png Veamos que si $I$ es el incentro de $XYZ$, entonces el triángulo es equilátero. Notemos que $\angle AIZ=\frac{1}{2}\angle AIB$; $\angle CIX=\frac{1}{2}\angle BIC$, y $\angle CIY=\frac{1}{2}\angle CIA$; por lo que estos tres ángulos suman la mitad de una vuelta completa, es decir...
por BrunZo
Lun 08 Jun, 2020 6:48 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 4
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 4

Es la primer solución de ecuaciones funcionales que subo... a ver qué onda :) ... De nuevo, hay dos opciones $a)$ $f(x)=0$ Verificamos la ecuación original: $$f(x)f(y)+yf(x)+xf(x+y)=0=f(x2+xy)$$ $b)$ $f(−x)=x$ Luego, para cada $x$ hay un $z$ real tal que $z=−x$, luego $f(−(−x))=f(x)=−x$ Verificamos...
por BrunZo
Lun 18 May, 2020 7:05 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Selectivo IMO 2019 - Problema 1
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Re: Selectivo IMO 2019 - Problema 1

Hagamos de cuenta que nunca mandé mi anterior solución. A ver si ahora sí: Yo digo que si $n$ es par gana Beto y si $n$ es impar gana Ana. Es claro que en cada momento hay una única manera de dividir a los puntos de la figura en grupos tal que en todo grupo se pueda viajar desde cualquier punto a cu...
por BrunZo
Dom 17 May, 2020 10:28 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Nacional 2008 N1 P6
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Re: Nacional 2008 N1 P6

Spoiler: mostrar
En general, se puede completar un tablero de $4n\times 4n$ con $2n+2$ piezas del primer tipo.

Dejo el ejemplo de un tablero $12\times 12$ con $8$ piezas:
Ejemplo 12x12.png
La colocación se generaliza fácil al agrandar la parte de colores dejando los mismos bordes.
por BrunZo
Jue 14 May, 2020 7:54 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Selectivo de IMO 2017 P3
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Re: Selectivo de IMO 2017 P3

Una sólo melódica. Nosotros vamos a demostrar que $ABI$ es semejante a $PQK$, de donde el problema se sigue. geogebra-export.png En primer lugar, vamos a probar $ABI$ y $CLK$ son semejantes: Sean $\angle BAI=\angle IAC=\alpha$, $\angle CBI=\angle IBA=\beta$ y $\angle ACI=\angle ICB=\gamma$. Notemos ...
por BrunZo
Jue 14 May, 2020 6:04 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: COFFEE "Carolina González" - Problema 1
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Re: COFFEE "Carolina González" - Problema 1

Tecnicismo: Si bien no viene mucho al caso, vale aclarar que si $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$, entonces $\frac{a+c}{b+d}=k$ y $\frac{a-c}{b-d}=k$ (se puede ver fácil ya que $a=bk$ y $c=dk$). Esto, si bien es una trivialidad, da un grado más de libertad cuando se está jugando con razones en geometría....
por BrunZo
Vie 08 May, 2020 8:31 am
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Hola, muy buena solución. Un único detalle: Entonces $PK=QK\iff P$ es el simétrico de $Q$ respecto a la mediatriz de $AB$ Esto no sería cierto si $K$ es el centro del cíclico (y entonces $PK$ y $QK$ son radios), pero el caso se descarta fácil dado que no hay lados paralelos. Ahora te toca proponer.
por BrunZo
Lun 20 Abr, 2020 8:38 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Ahora sí voy a proponer. Problema 148. Un cuadrilátero $ABCD$ que no tiene dos lados iguales o paralelos está circunscrito alrededor de una circunferencia de centro $I$. Sean $K$, $L$, $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, respectivamente. Probar que si $AB\cdot CD=4IK\cd...
por BrunZo
Lun 20 Abr, 2020 8:30 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

A ver... geogebra-export (1).png Primero, sea $D'$ la intersección entre $AO$ y $EF$. Veamos que como $BCEF$ es cíclico, vale que $\angle ABD=\angle AED'$. Además, se sabe que $H$ y $O$ son conjugados isogonales así que $\angle BAD=\angle EAD'$. De este modo, $\triangle ABD\sim\triangle AED'$, lueg...
por BrunZo
Lun 20 Abr, 2020 4:27 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Solución 146 Vamos a imaginarnos como que conectamos los puntos con flechitas que salen del punto elegido y van al más cercano. Notemos que de cada vértice sale una sola flecha, pero pueden entrar ninguna, una o más de una. Agarremos un punto $A$ y supongamos que tiene más de $5$ vecinos. Vamos a p...