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Un reloj digital que da la hora y los minutos desde las $00:00$ hasta las $23:59$, siempre muestra $4$ dígitos. Determinar durante cuánto tiempo, a lo largo de $24$ horas, el reloj exhibe por lo menos un $1$ pero ningún $2$ o exhibe por lo menos un $2$ pero ningún $1$.

Leonardo pensó un número entero entre $1$ y $2003$ inclusive, y Julián tiene que adivinar ese número. Para ello puede formularle a Leonardo preguntas que se puedan responder con sí o no. Leonardo tiene obligación de responder todas las preguntas, pero, si lo desea, puede mentir como mucho una vez. (...

Se tiene un tablero cuadrado de $8\times 8$ dividido en casillas de $1\times 1$. Escribir en cada casilla un $1$ o un $2$ de modo que en cada cuadrado de $3\times 3$ la suma de los $9$ números sea múltiplo de $4$, pero la suma de los $64$ números del tablero no sea múltiplo de $4$.

Se tienen $200$ bolitas de igual tamaño y color, pero $100$ de las bolitas pesan $20$ gramos cada una, y las otras $100$ bolitas pesan $21$ gramos cada una. Se debe formar dos grupos de distinto peso pero que contengan la misma cantidad de bolitas cada uno. Para ello, se utiliza una balanza con dos ...

Sea $ABCDE$ un pentágono de lados $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ y $EA$ tal que
$$\text{área} (ABC) = \text{área} (ABD) = \text{área} (ACD) = \text{área} (ADE) = 17$$
Calcular el área del triángulo $BCE$.

Pedro tiene un barril blanco con $55$ litros de aceite, el cual es una mezcla de soja y maíz, pero no sabe en qué proporciones, y un barril gris con $66$ litros de aceite, que también es mezcla de soja y maíz, pero tampoco sabe en qué proporciones, ni si estas son iguales o distintas que las del bar...

Se tiene un tablero de $7\times 7$, cuadriculado en cuadraditos de $1\times 1$. Dividir el tablero en cinco pedazos, cortando por líneas de la cuadrícula, de modo que utilizando los cinco pedazos, y sin desperdiciar ninguno, se puedan armar al mismo tiempo tres tableros cuadrados (no necesariamente ...

Utilizando los dígitos $0$, $1$ y $2$ se escribe, en etapas, una secuencia. En la primera etapa se escribe un $0$, y a partir de ahí, en cada etapa se agregan tantos dígitos como los que había. Para escribir los nuevos dígitos, se copian los dígitos que ya estaban escritos, pero cambiando $0$ por $1...

Muy lindo problema! La solución que subo es un poco avanzada y puede parecer artificial pero a mi me resultó bastante natural. Hay dos ideas. La primera tiene que ver con autómatas finitos. La segunda es el concepto de revestimiento, que aparece en topología. Al final pongo las definiciones necesar...

Lo hice con inducción, puesto que con 1 cumple, demostré que si consideramos que un conjunto $S_n$ cumple, el $S_{n+1}$ también. Por esto, se cumple para todos los n y la partición siempre será posible. Este problema lo demostraré con inducción, considerando los casos donde $A$ tiene $1$, $n$ y $n+...