OMA Foros

$1\leq (d_2-2)d_{m-1}\Longleftrightarrow d_2=2$ Chei... Si $d_2=2$ entonces te queda $$1\leqslant (d_2-2)d_{m-1}=0\cdot d_{m-1}=0$$ que claramente es falso. Sí, debe de ser un error de tipeo. Me parece que la desigualdad está invertida. O sea, uno debería tener $d_{m-1}\geq f(n)=(d_2-1)d_{m-1}-1$ e...

Creo que es parecida a la de arriba: Solución: Es claro que $n$ primo cumple con $k=n+1$. Desde ahora $n$ es compuesto. Denotemos por $f(d)$ a $d-k$. Es claro que que $f(x)-f(y)=x-y$ Sean $1=d_1<d_2<\dots<d_{m-1}<d_m=n$ los divisores positivos de $n$. Es claro que $d_{m-1}\leq \frac{n}{2}$. Luego, $...

Me inscribo...

EDIT: $c(N)\approx c(14\cdot\text{cantidad de uruguayos})$.

BrunZo me parece que tu idea no funciona: Que pasa si Ana aplica su estrategia de $n=3$ para $n=5$ y se juega asi: - Ana = $(A_4, A_5) = (B_2, B_3)$ - Beto = $(A_2, O) = (B_1, O)$ - Ana = $(A_4, O) = (B_2, O)$ [Aca ya gana Ana para $n = 3$, pero el juego sigue para $n=5$] - Beto = $(A_5, O)$. - No ...

Bueno... Solución: Imágen : geogebra-export.png Preliminares: Vamos a nombrar un par de cosas: Sea $\Omega$ el circuncírculo de $ABC$. Sabemos que $BCEF$ es cíclico, sea $\omega_1$ su circuncírculo. Sea $\omega_2$ el circuncírculo de $AEF$. Primera parte: El círculo $\gamma$ . Notemos que como $BCEF...

Solución: Si $a$ y $b$ no son múltiplos de $3$, o son ambos múltiplos de $3$, sabemos que $a^2+b^2+2$ va a tener restos $1$ ó $2$ módulo $3$, respectivamente. De este modo, la operación no deja un múltiplo de $3$. Ahora, si sólo uno de ellos es múltiplo de $3$, ambos $a^2b^2+3$ y $a^2+b^2+2$ lo ser...

Solución: Vamos a demostrar que $n$ impar gana Ana e $n$ par gana Beto. Usaremos inducción: Los casos $n=3$ y $n=4$ funcionan [se deja como ejercicio al lector probarlo]. Ahora, vamos a demostrar que si se cumple para $n$, se cumple para $n+2$. Tomemos tres vertices consecutivos $A_1A_2A_3$ del pol...

Solucion 106 Sea $P$ la proyeccion de $N$ sobre $AC$ y $Q= PN\cap \omega$ Es conocido que $KLP$ es la recta de Simson. Una de las propiedades de esta recta es que $BQ\parallel KLP$. Sean $O$ el centro de $\omega$ y $\angle NOM =\alpha$, entonces $\angle BON =2\alpha$ y $\angle BQN= \alpha$. Entonce...

Hay bastantes soluciones diferentes... Solución 1. [Mirar imagen de arriba]. Sea $P$ la intersección de $AB$, $DM$. Como $AD\parallel BC$ y $AD=2BM$, $B$ y $M$ son puntos medios de $AP$, $DP$. Además, es obvio que $NE$ es mediatriz de $AD$ y también $BE$ es mediatriz de $AP$. De este modo, $E$ es ci...

Solución: Decimos que una posición (cantidad de fichas) es ganadora o perdedora si el primero que juega con esa cantidad gana o pierde, respectivamente. Digo que $n$ es ganador si y sólo si $n$ es par pero no es una potencia impar de $2$. Lo demostraremos con inducción: Es obvio que $n=1$ es perded...