OMA Foros

No siempre se es el centésimo mensaje de un post...

PD: Me inscribo.


(Mensaje sólo apto para devotos de la base $10$.)

Puf. Digo que la máxima cantidad de cuaternas es $f(n)=2,5\cdot 10^{n-1}-2^{n-2}$. Esto vale $2, 24, 248,...$ para $n=1,2,3,...$. Primero, veamos como construir un Ejemplo para cada $n$: Para $n=1$ es claro que $\{0,1,2,3\}$, $\{4,5,6,7\}$ son cuaternas especiales por lo que tenemos un ejemplo. Para...

Solución: Asumo que se pueden poner dos o más monedas en un mismo plato, aunque no se aclare. Lo primero y principal a notar, es que si ya hallamos un conjunto de monedas que pese $2$, podemos determinar con una pesada el peso de cualquier moneda (ya que podemos pesar el conjunto de peso $2$ con la...

Otra Solución que va a ser completamente ignorada debido a que corresponde a un problema no importante de una competencia no importante, pero de todos modos voy a subir: geogebra-export.png Sin rodeos: Sea $D$ el pie de la bisectriz por $A$ en $ABC$. Por propiedades de la bisectriz, queda claro que ...

Matías escribió: ↑

Dom 22 Dic, 2019 10:50 pm

Demostrar que para todas las ternas $(x,y,z)$ de números positivos se cumple la desigualdad
$$\frac{x}{\sqrt{3y^2+3z^2+2yz}}+\frac{y}{\sqrt{3z^2+3x^2+2zx}}+\frac{z}{\sqrt{3x^2+3y^2+2xy}}\geq\frac{3}{8}$$

El enunciado original decía $\frac{3}{\sqrt{8}}$, y ahí la cota sí se alcanza con $x=y=z$.

Este Joacoini no me deja nunca ser el primero en inscribirme...

PD: Me inscribiré.

Solución 121 Sean $E=AB\cap CD$ y $F=AD\cap BC$, y sean $\Gamma _X\equiv \odot EBC$ y $\Gamma _Y\equiv \odot EAD$. Notemos que $X$ e $Y$ son los opuestos diametrales de $E$ en $\Gamma _X$ y $\Gamma _Y$, respectivamente, además, tenemos que $EA\cdot EB=\text{Pot}(E,\odot ABCD)=EC\cdot ED$. Por otro ...

EDIT: ¿Qué pasó acá? Parece que el enunciado del 121 decidió auto-eliminarse (o bien eliminé el enunciado sin querer). Lo vuelvo a escribir (con posibles diferencias con respecto al original) Problema 121: Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y $P$ la intersección de sus diagonales. La perpendicular a...

Solución 120: geogebra-export.png Por propiedades de las tangentes valen: $AE=AF$, $BD=BD$ y $CD=CE$. (*) Por la primera de estas igualdades, queda claro que $\angle AEF=\angle AFE<90^{\circ}\Longrightarrow \angle CEG=\angle BFG>90^{\circ}$. Por esto último y $\frac{GB}{GC}=\frac{GF}{GE}$ vale que ...

Parte a): Escribamos $A=\overline{a_1a_2a_3a_4a_5\dots}=\overline{a_10a_30a_5\dots}+\overline{a_20a_40\dots}$. Notemos que ambos sumandos son de tipo 2 ya que todos los dígitos en posición par son $0$. Parte b): Tomemos $A=109=x+y$ donde $x$ e $y$ son de tipo 1. Como ni $100$, ni $101$, ni $102$,.....