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Solución: Primera parte: $\angle B=45^{\circ}$. Esto puede concluirse de muchas formas: La más rápida es un teorema del coseno. Otra opción sería: Supongamos que pegamos un triángulo rectángulo de catetos $1$ y $1$ e hipotenusa $\sqrt{2}$ con otro triángulo rectángulo de catetos $1$ y $\frac{1}{2}$...

Imagen: geogebra-export (1).png Solución: Primero que nada, definimos un punto $C'$ exterior a $ABCDE$ tal que $BC'\parallel AE$ y $BC'=BC$. Usando esto, notemos que $EC'$ corta al segmento $AB$ en proporción $\frac{AE}{BC'}=\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{FB}$, por lo que la recta $EC'$ pasa por el punto ...

Idea de solución:

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El caso de igualdad se puede conseguir con la sucesión $1,1,1,1,...,1,2,2,3,3,4,4,...,23,23,24,24,25$. Para demostrarlo, analizar qué pasa cuando se usa por primera vez un número nuevo, y que pasa si se usa por segunda vez o si aparece sólo una vez.

Idea de solución:

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Es claro que, analizando por separado columnas y filas, $X\leq 2n$ y $P\leq 2n$.

Dato de color:

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Igualdad si y sólo si $ABCX$ es ármonico (i.e. $AB\cdot CD=BC\cdot DA$, o análogamente, $AX$ es simediana del $ABC$).

Tardísimo, pero... Generalización: Sean $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ cevianas concurrentes en un triángulo $ABC$. Sean $X_A$ e $Y_A$ las intersecciones de los círculos con diámetros $BC$ y $AA_1$, sean $X_B$ e $Y_B$ las intersecciones de los círculos con diámetros $AC$ y $BB_1$, y sean $X_C$ e $Y_C$ las i...

$2009$ columnas Supongo que el tablero tendrá $2019$ columnas... :roll: Solución: Consideremos para cada columna, la resta entre el número de la primera columna y el de la segunda (puede ser negativa). Es claro que la suma de todas estas restas da $0$, pues la cuenta es $1+2+3+\cdots+2019-1-2-3-\cd...

Solución: Digo que el máximo es $\binom{n-1}{2}=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$. Es fácil ver que se pueden construir $\binom{n-1}{2}$ triángulos, todos con un vértice en común, que cumplen la condición. Supongamos que hay $t>\binom{n-1}{2}$ triángulos. Supongamos que en cada triángulo tomamos uno de los lad...

Solución: Podemos ignorar la condición para $d=1$. La condición para $d=2$, $d=4$, $d=8$ implica que, si $N$ tiene más de $3$ dígitos, entonces es múltiplo de $8$. (Es fácilmente analizable que ningún número de menos de $3$ dígitos no anda). La condición para $d=3$, $d=9$ es análoga a que $N$ sea d...

Solución: Sea $S$ la intersección de $QR$ en $AB$. Es claro que basta con demostrar que $QR=RS$, en cuyo caso $PQS$ es isósceles, de lo que se sigue el problema. Sea $T$ en el lado $AB$ tal que $2AT=TB$. Tenemos que $RT\parallel BC$ y $RT=\frac{1}{3}BC$. Además, $BQ=\frac{2}{3}BC$. De este modo, co...