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Aquí publicaremos la solución oficial.

Existe al menos un polinomio que cumple con los valores dados.

Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros no negativos. Pepe afirma que conociendo únicamente los valores de $P(2)$ y $P(P(2))$ se puede reconstruir el polinomio $P$. ¿Está en lo correcto?

Buenísimo!
Si van a hacer cosas con trigonometría hay otros trucos que también son útiles.
Por ej Ceva es muy útil si hay que demostrar una concurrencia.
Otro que me gusta mucho es el truco de Emiliano: sen(a)sen(b) = sen(c)sen(d) con a+b = c+d implica {a, b} = {c, d} (capaz lo estoy diciendo mal)

Aquí publicaremos la solución oficial

Decimos que una sucesión infinita de números enteros positivos $a_1,a_2,\ldots ,a_n,\ldots$ es universal si existe una sucesión infinita de números enteros positivos $b_1,b_2,\ldots ,b_n,\ldots$ tal que para todo entero positivo $n$ vale que$$a_n=\prod \limits _{d\mid n}b_d.$$Demostrar que la sucesi...

Problema $396$: Encuentre todas las ternas de enteros no negativos $(a, b, c)$ tales que $a^2+b^2+c^2=abc+1$ Para los amigos de V.J. Digo que las únicas soluciones son las permutaciones de $(0, 0, 1)$. En efecto, cualquiera de ellas satisface la igualdad. Veamos que estas son únicas soluciones. Sea...

Si querés buscarlos en el foro capaz te aparece buscando "punto mágico de la mediana" para el Humpty point.
El otro no me acuerdo si tenía nombre conocido por acá

Ordenemos los números de menor a mayor, $x_1\le x_2\le \cdots \le x_{2024}$. Supongamos que ya probamos que si $a\le b$, $x_a + x_b\le \frac{2}{2024}$ entonces $x_a + x_b^2<\frac{1}{2023}$ como hizo Mati. Sabemos que $$(x_1+x_{2024}) + (x_2+x_{2023}) + \cdots + (x_{1012}+x_{1013}) = 1$$ de modo tal...

Primera solución: Vamos a demostrar que $m=101$ es el menor valor posible de $m$. Este valor es posible porque $101\cdot 11 = 1111$. Primero veamos que $m$ no puede tener únicamente un dígito: Si $m$ tuviera un sólo dígito, entonces $m\cdot 11...11 = mm...mm$, es decir, un número compuesto por todo...