Se encontraron 69 coincidencias

por Sandy
Mar 10 Dic, 2019 1:34 pm
Foro: Geometría
Tema: Problema 5 Nivel 3 Río 2019
Respuestas: 1
Vistas: 10

Problema 5 Nivel 3 Río 2019

Sea $ABC$ un triángulo acutangulo con $AB<AC$ y circuncírculo $ω$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AC$ y $AB$ respectivamente, y $G$ el baricentro de $ABC$. Sea $P$ el pie de la perpendicular trazada desde $A$ hacia $BC$ y $Q$ la intersección de $GP$ y $ω$, con $P$ entre $G$ y $Q$. La recta $QM...
por Sandy
Mar 10 Dic, 2019 1:26 pm
Foro: Algebra
Tema: Problema 6 Nivel 3 Río 2019
Respuestas: 0
Vistas: 11

Problema 6 Nivel 3 Río 2019

Sea $α>1$ un número real tal que la sucesión $a_n=α ⌊α^n⌋-⌊α^{n+1}⌋$ con $n≥1$ es periódica, es decir, existe un entero positivo $p$ tal que $a_{n+p}=a_n$ para todo $n$.

Demostrar que $α$ es entero.
por Sandy
Mar 10 Dic, 2019 1:04 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Problema 4 Nivel 3 Río 2019
Respuestas: 0
Vistas: 12

Problema 4 Nivel 3 Río 2019

Demuestre que existen infinitas ternas $(a,b,c)$ de números enteros mayores que $1$, coprimos dos a dos, tales que $a^b+b^c+c^a$ es múltiplo de $a+b+c$
por Sandy
Mar 10 Dic, 2019 1:01 pm
Foro: Algebra
Tema: Problema 6 Nivel 2 Río 2019
Respuestas: 0
Vistas: 9

Problema 6 Nivel 2 Río 2019

Una sucesión $a_1$, $a_2$, $...$, $a_n$ de $n≥2$ enteros positivos se dice empinada si satisface $\frac{a_n}{a_{n-1}}≥\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}≥ ... ≥ \frac{a_2}{a_1} > 1$ a) Halle, para cada $n$, una sucesión empinada $a_1$, $a_2$, $...$, $a_n$ con $a_n≤n^2$. b) Demuestre que si $a_1$, $a_2$, $...$, ...
por Sandy
Mar 10 Dic, 2019 12:51 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Problema 5 Nivel 2 Río 2019
Respuestas: 0
Vistas: 9

Problema 5 Nivel 2 Río 2019

Determine si existe un entero positivo $n$ tal que $3^n+101n$ es un cuadrado perfecto.
por Sandy
Mar 10 Dic, 2019 12:47 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Problema 4 Nivel 2 Río 2019
Respuestas: 0
Vistas: 10

Problema 4 Nivel 2 Río 2019

¿De cuántas maneras se pueden colocar los números del $1$ al $2019$ en una circunferencia de modo que exista algún entero positivo $m$, $2≤m≤2018$, tal que cualquier suma de $m$ números consecutivos de la circunferencia sea múltiplo de $m$? Aclaración: Dos configuraciones se consideran iguales sí un...
por Sandy
Lun 09 Dic, 2019 9:36 pm
Foro: Geometría
Tema: Problema 2 Nivel 2 Río 2019
Respuestas: 0
Vistas: 26

Problema 2 Nivel 2 Río 2019

En una circunferencia se marcan, en orden, los puntos $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ y $F$, de modo que $AB=BD$, $CE=EF$ y $BC>DE$. Sea $H$ un punto en $AC$ tal que $BH$ es perpendicular a $AE$.

Demuestre que las rectas $CD$, $BE$ y la paralela a $AF$ por $H$ concurren.
por Sandy
Lun 09 Dic, 2019 9:31 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Problema 2 Nivel A Río 2019
Respuestas: 0
Vistas: 11

Problema 2 Nivel A Río 2019

Inés y María juegan el siguiente juego. Inés elige un número de dos dígitos y lo escribe en el pizarrón. (El número de dos dígitos puede tener $0$ en las decenas, por ejemplo $03$). En cada paso del juego se escribe un nuevo número de dos dígitos a partir del anterior, de acuerdo a las siguientes re...
por Sandy
Lun 09 Dic, 2019 9:20 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Río 2019 Problema 1 Nivel 1
Respuestas: 0
Vistas: 11

Río 2019 Problema 1 Nivel 1

Beto participó de un juego de preguntas y respuestas. En este juego, antes de cada ronda hay que apostar una parte de los puntos que se tienen acumulados. Por ejemplo, un jugador que tiene $100$ puntos puede decidir apostar $28$ puntos para la siguiente pregunta. Si la responde correctamente, gana $...
por Sandy
Lun 09 Dic, 2019 9:15 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Problema 3 Nivel 2 Río 2019
Respuestas: 0
Vistas: 14

Problema 3 Nivel 2 Río 2019

Sea $S$ una colección de $2n+1$ menores o iguales que $2^n$ con la siguiente propiedad: el producto de cualesquiera $n$ números de $S$ divide al producto de los restantes $n+1$ números de $S$.

Demuestre que $S$ contiene al menos un número repetido.