Se encontraron 29 coincidencias

por Sandy
Vie 24 May, 2019 2:12 am
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Tema: Nacional N2 P4 2007
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Re: Nacional N2 P4 2007

Gianni De Rico escribió:
Jue 23 May, 2019 9:31 pm
Es
La sumatoria es desde $i=1$ hasta $k$ (fijate que los demás valores no están definidos, y que entre $0$ y $k$ inclusive hay $k+1$ números, entonces debería dar $2007(k+1)$).
Eso eso, lo que decía era que era hasta $k$ en vez de hasta $n$, gracias!
por Sandy
Jue 23 May, 2019 8:22 pm
Foro: Problemas Archivados
Tema: Nacional N2 P4 2007
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Re: Nacional N2 P4 2007

Acá está la solución: Definamos a una recta como "principal" si define a un conjunto de rectas paralelas (este conjunto puede contener solo a la recta "principal"). Definamos entonces $r_1 , \cdots , r_k$ a las rectas "principales". Sea $f(r_i)$ la cantidad de rectas paralelas a $r_i$ (incluyendo $...
por Sandy
Dom 14 Abr, 2019 11:39 pm
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Tema: FOFO de Pascua 2019
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Re: FOFO de Pascua 2019

Me inscribo
por Sandy
Sab 09 Feb, 2019 2:41 pm
Foro: Problemas
Tema: OMEO 2019 N2 P2
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Re: OMEO 2019 N2 P2

Para cada número entero positivo $n$ llamamos $S(n)$ a la suma de sus dígitos y $P(n)$ al producto de sus dígitos. Por ejemplo: $S(12345)=1+2+3+4+5=15$ y $P(12345)=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$. Decimos que un número entero positivo $n$ es obediente si $S(n)=P(n)$ (es decir, la suma de sus...
por Sandy
Sab 09 Feb, 2019 1:51 pm
Foro: Problemas
Tema: OMEO 2019 N2 P2
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Re: OMEO 2019 N2 P2

Solución: Notemos que un dígito no puede ser $0$, ya que $P(n)=0\neq S(n)$. Para números de un dígito, es obvio que todo $1\leq n\leq 9$ es obediente. Si un número de dos dígitos, digamos $a$ y $b$, usamos que $a+b=a\cdot b$ si y sólo si $a=b=2$. $$a+b=a\cdot b$$ implica $$a=(a-1)b$$ que a su vez i...
por Sandy
Mar 29 Ene, 2019 4:24 pm
Foro: Problemas
Tema: OFO 2019 Problema 1
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Re: OFO 2019 Problema 1

Vamos a generalizar primero: supongamos que los dos números que piensa son $a$ y $b$, siendo $a$ el que suma al final, y $k$ el número que dice en voz alta el voluntario, queda: $(a+b)^2+a=k$ Expandiendo, $a^2+2ab+b^2+a=k$ Estableciendo la cuadrática en función de $a$: $a^2+2ab+b^2+a=k$ $a^2+a \tim...
por Sandy
Lun 28 Ene, 2019 11:31 am
Foro: Problemas
Tema: OFO 2019 Problema 6
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Re: OFO 2019 Problema 6

Primero veamos que, si hay $q^2+q+1$ gustos, habrá $\frac{(q^2+q+1)(q^2+q)}{2}$ pares distintos de gustos. Dado que cada uno elige $q+1$ gustos, cada uno elige $\frac{(q+1)q}{2}$ pares. Como cada par de gustos lo elige un solo exolímpico, en total habrá $\frac{\frac{(q^2+q+1)(q^2+q)}{2}}{\frac{(q+1...
por Sandy
Lun 28 Ene, 2019 11:20 am
Foro: Problemas
Tema: OFO 2019 Problema 5
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Re: OFO 2019 Problema 5

Veamos primero que si se puede llegar a cualquier $a_n=k^3$ con $k$ natural la sucesión será acotada, ya que $f(k^3)=k^3$, entonces $a_{n+1}=3a_n-2f(a_n)=3k^3-2k^3=k^3$, por lo que $a_n=a_{n+1}$, y todos los términos a partir de $a_n$ serán iguales a $a_n$, por lo que la sucesión será acotada. Note...
por Sandy
Lun 28 Ene, 2019 11:16 am
Foro: Problemas
Tema: OFO 2019 Problema 4
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Re: OFO 2019 Problema 4

Primero veamos brevemente que si $(x,y,z)$ cumple, entonces $(-x,-y,-z)$ cumple (y es recíproco ya que $-(-x)=x$). Partiendo de que $x^3 + 2y^3 = 4z^3$ $(-x)^3 + 2(-y)^3 = 4(-z)^3$ $-x^3 + 2(-y^3) = 4(-z^3)$ $-x^3 - 2y^3 = -4z^3$ Y multiplicando por $-1$ en ambos miembros queda $x^3 + 2y^3 = 4z^3$,...
por Sandy
Lun 28 Ene, 2019 11:10 am
Foro: Problemas
Tema: OFO 2019 Problema 3
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Re: OFO 2019 Problema 3

Primero agrupamos todas las posibilidades en grupos de 2, tal que cada posibilidad esté junto con la que tiene los signos $\times$ y $\div$ iguales, pero con los signos $+$ y $-$ opuestos, es decir, cada uno se agrupa con el que es igual, pero que donde el primero tiene signos $+$ , el segundo tien...