Se encontraron 111 coincidencias

por Sandy
Lun 25 May, 2020 6:14 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Problema 4 IMO 2016
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Re: Problema 4 IMO 2016

Is this Cono? Primero por comodidad vamos a buscar un $b$ tal que ${P(a), P(a+1), ..., P(a+b-1)}$ sea fragante , porque la verdad queda muy feo si no. Veamos lo siguiente: Supongamos que $p\mid P(a)$ y $p\mid P(a+k)$. $\Longrightarrow p\mid (2a+3k-1)P(a)+(k-2a-1)P(a+k)=k^3+3k$ Es claro que $P(n)\equ...
por Sandy
Vie 15 May, 2020 3:40 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: IMO 2008 - P1
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Re: IMO 2008 - P1

Sean $D, E$ puntos medios de $AB$ y $BC$, respectivamente. Sean $\omega_1, \omega_2$ las circunferencias con centros $D, E$ respectivamente. Sea $Q=\omega_1 \cap \omega_2$. $DE\parallel AC\Longrightarrow HQ\perp AC\Longrightarrow B\in HQ\Longrightarrow BA_1\times BA_2=BC_1\times BC_2\Longrightarrow...
por Sandy
Jue 14 May, 2020 11:29 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: IMO 2007 - P4
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Re: IMO 2007 - P4

Sean $A, B$ tales que $CQ\leq CP$, $O=PK\cap LQ$ y $X\in CR$ tal que $XC=XR$. $\alpha=ACR=ABR=RBC=RAB$ $QA=QC\Longrightarrow QAC=QCA=\alpha$ $PB=PC\Longrightarrow PBC=PCB=\alpha$ $QRA=CRA=CBA=PBA+\alpha=PBR$ (1) $PRB=CRB=CAB=QAB+\alpha=QAR$ (2) $ACR=BCR\Longrightarrow AR=BR$ (3) $\overset{(1)(2)(3)...
por Sandy
Jue 14 May, 2020 12:58 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: IMO 2013 - Problema 4
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Re: IMO 2013 - Problema 4

$D=\omega_1 \cap \omega_2\neq W$. $BNC=90^{\circ}=BMC\Longrightarrow BNMC$ concíclicos ($\omega_3$). $BN, CM$ son ejes radicales de $\omega_1, \omega_3$ y $\omega_2, \omega_3$ respectivamente. $\Longrightarrow BN\cup CM=A$ tiene la misma potencia respecto de $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ $\Longrig...
por Sandy
Mié 13 May, 2020 3:36 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: 47° IMO (2006) - Problema 1
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Re: 47° IMO (2006) - Problema 1

Es el $\mathbb{Trueno}$ $P\widehat{A}I$ Como las condiciones son simétricas en $B$ y $C$, sea $B$ el vértice con $CBI\geq CBP$ porque no me llevo bien con los ángulos orientados. $BIC=180^{\circ}-IBC-ICB=180^{\circ}-\frac{ABC}{2}-\frac{ACB}{2}=180^{\circ}-\frac{ABC+ACB}{2}=180^{\circ}-\frac{180^{\c...
por Sandy
Mié 13 May, 2020 2:54 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: 47° IMO (2006) - Problema 4
Respuestas: 3
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Re: 47° IMO (2006) - Problema 4

Veamos qué pasa cuando $x<0$. Sea $z=-x=|x|$. $1+\frac{1}{2^z}+\frac{2}{2^{2z}}=y^2\Longrightarrow \frac{1}{2^z}+\frac{2}{2^{2z}}=\frac{2^{z}+2}{2^{2z}}\in \mathbb{Z}^+$ pero $v_2(2^z+2)=1$ para $z>1$, absurdo. Para $z=1$, $1+\frac{1}{2^z}+\frac{2}{2^{2z}}=2$, absurdo pues no es cuadrado perfecto. ...
por Sandy
Mar 12 May, 2020 10:20 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: IMO 2014 Problema 1
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Re: IMO 2014 Problema 1

Primero veremos que existe dicho $n$, y después que es único. Supongamos que no existe dicho $n$ y llegaremos a un absurdo. Es claro que $a_1<\frac{a_0+a_1}{1}$, luego $a_2<a_0+a_1$ Veamos que $a_k(k-1)<\sum_{i=0}^{k-1} a_i$ implica que $a_{k+1}(k)<\sum_{i=0}^{k} a_i$, luego usando que $a_2<a_0+a_1...
por Sandy
Mar 12 May, 2020 2:33 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: 51° IMO (2010) - Problema 1
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Re: 51° IMO (2010) - Problema 1

Tomando $y=0$: $f(0)=f(x)\lfloor f(0)\rfloor$ Luego, $f(x)$ es constante o $\lfloor f(0)\rfloor=f(0)=0$ Si $f(x)$ es constante, entonces $f(x)=f(x)\lfloor f(x)\rfloor$, luego $f(x)=k$ cumple para cualquier $k\in {0}\cup [1,2)$. Veamos los casos donde $f(x)$ no es constante, es decir $f(0)=0$. Sea $...
por Sandy
Mar 12 May, 2020 2:04 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: XVIII TORNEO INTERNACIONAL DE LAS CIUDADES (OTOÑO 1996 HEMISFERIO NORTE). NIVEL MAYOR. PROBLEMA 1
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Re: XVIII TORNEO INTERNACIONAL DE LAS CIUDADES (OTOÑO 1996 HEMISFERIO NORTE). NIVEL MAYOR. PROBLEMA 1

Si quieren las cuentas para demostrar que $4$ puntos son coplanares, acá no las van a encontrar. Sean los vértices del cubo $A=(0,0,0)$ $B=(1,0,0)$ $C=(1,1,0)$ $D=(0,1,0)$ $E=(0,0,1)$ $F=(1,0,1)$ $G=(1,1,1)$ $H=(0,1,1)$ Pintando de un color $A, B, C, G$ y del otro color $D, E, F, H$ ganamos. $A,B,C$...
por Sandy
Mié 06 May, 2020 5:44 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 16 (N1)
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Re: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 16 (N1)

Gianni De Rico escribió:
Mar 05 May, 2020 3:58 pm
Sandy escribió:
Mar 05 May, 2020 2:24 pm
Spoiler: mostrar
$4+f(n)\mid 4+n\Longleftrightarrow 4+f(n)\leq 4+n$
Spoiler: mostrar
Ojo que acá en general solamente vale el $\Rightarrow$.
O sea, $a\mid b\Rightarrow a\leq b$ está perfecto, pero fijate que $b-1<b$ y $b-1\not \mid b$ si $b>2$.
Ah sí tenés razón me acostumbré a escribir \Longleftrightarrow nomás :p