Se encontraron 254 coincidencias

por Sandy
Jue 23 Sep, 2021 8:49 pm
Foro: General
Tema: FOFO 11 AÑOS
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Re: FOFO 11 AÑOS

😎😎
por Sandy
Lun 13 Sep, 2021 9:01 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Selectivo Ibero 2021 - Problema 3
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Re: Selectivo Ibero 2021 - Problema 3

En primer lugar, notemos que $\left( 2^{2m+1}\right)^2+1=\left( 2^{2m+1}+2^{m+1}+1\right)\left( 2^{2m+1}-2^{m+1}+1\right)$. Supongamos que $d\mid 2^{2m+1}+2^{m+1}+1$ y al mismo tiempo $d\mid 2^{2m+1}-2^{m+1}+1$. Luego $d\mid \left( 2^{2m+1}+2^{m+1}+1\right) - \left( 2^{2m+1}-2^{m+1}+1\right)=2^{m+2...
por Sandy
Vie 03 Sep, 2021 12:08 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Regional 2021 - N3 P3
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Re: Regional 2021 - N3 P3

Sean $E'$ punto medio de $BE$ y $F=AE\cap DC$. $DE'\parallel AE$ por ser $DE'$ base media en $ABE$. Por ser $E$ punto medio de $E'C$ y el paralelismo de recién, $EF$ es base media en $DCE'$, luego $CF=FD=FA$. Luego $B\widehat{A}C=D\widehat{A}F+F\widehat{A}C=D\widehat{A}F+\frac{1}{2}\left(180^\circ-...
por Sandy
Jue 02 Sep, 2021 10:55 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Entrenamiento IMO 2021 - Problema 3
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Re: Entrenamiento IMO 2021 - Problema 3

🤨🤨 Sean $a+b=x$, $b+c=y$, $c+a=z$. Luego la primera igualdad se vuelve $xz=\frac{x+y-z}{2}\Longleftrightarrow y=2xz+z-x$. Reemplazando esto en las otras dos nos queda: $x(2xz+z-x)=xz+z-x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ (1) $z(2xz+z-x)=x-xz\Longleftrightarrow x=\frac{z^2}{1-2...
por Sandy
Lun 30 Ago, 2021 11:27 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Entrenamiento IMO 2021 - Simulacro - Problema 7
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Re: Entrenamiento IMO 2021 - Simulacro - Problema 7

Una sólo con reemplazos Sea $P(x,y)$ la proposición. $P(1,1):\;\; f(1)=f(1)+1+f(0)$ $\;\;\;\;\; \Longrightarrow f(0)=-1$ $P(x,x):\;\; f(x^2)=xf(x)+x+f(0)$ $P(-x,-x):\;\; f(x^2)=-xf(-x)-x+f(0)$ $\;\;\;\;\; \Longrightarrow xf(x)+x=-xf(-x)-x\Longrightarrow f(x)+1=-f(-x)-1\Longrightarrow f(-x)=-2-f(x)\;...
por Sandy
Lun 23 Ago, 2021 1:38 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 3
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Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 3

Creo (aunque puede ser por la hora) que esta solución linda que se me acaba de ocurrir no la subió nadie: Sea $E$ en la semirrecta $BC$ con $EC=AC=6$. Nos queda entonces $ACE$ equilátero, luego $AE=6$. Además $AEB=DCB=60^\circ$, luego $DC\parallel AE$ y por Thales $\frac{AE}{CD}=\frac{EB}{BC}$ de lo...
por Sandy
Dom 25 Jul, 2021 7:54 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: IMO 2021 - Problema 2
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Re: IMO 2021 - Problema 2

Idea resumida Apenas uno ve el problema se imagina una inducción en $n$, pero no anda como cualquier inducción sino que requiere unos retoques extras. En este caso esos retoques fueron ver que uno puede reducirlo al caso en el que ha un $x_i=0$ o dos $x_i,x_j$ simétricos respecto al $0$, y que ahí ...
por Sandy
Jue 22 Jul, 2021 5:46 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: IMO 2021 - Problema 6
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Re: IMO 2021 - Problema 6

Solución Sean $\mid A\mid =n$ y $a_1,a_2,\ldots , a_n$ los elementos de $A$. Sean $c_{i,j}\in \{0,1\}$ para $1\leq i\leq n$, $1\leq j\leq m$. Tenemos que, para todo $k$ entre $1$ y $m$, $m^k=\sum \limits _{i=1}^nc_{i,k}a_i$. Sea $x\in \{0,1,2,\ldots ,m^m-1\}$. Es claro que podemos escribir $x=\sum ...
por Sandy
Mié 21 Jul, 2021 7:36 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: IMO 2021 - Problema 5
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Re: IMO 2021 - Problema 5

Solución: Miremos qué pasa con los parcitos de nueces consecutivas que ya fueron usadas (si es más claro, se puede pensar como que en el $k$-ésimo movimiento pintamos la nuez $k$). Si $a,b>k$, entonces en el $k$-ésimo movimiento no cambia (pues los $a$-ésimo y $b$-ésimo movimientos no ocurrieron to...
por Sandy
Mar 20 Jul, 2021 10:56 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: IMO 2021 - Problema 6
Respuestas: 1
Vistas: 381

IMO 2021 - Problema 6

Sean $m\geq 2$ un entero, $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos), y $B_1,B_2,B_3,\ldots ,B_m$ subconjuntos de $A$. Suponemos que para cada $k=1,2,\ldots ,m$, la suma de los elementos de $B_k$ es $m^k$. Probar que $A$ contiene al menos $m/2$ elementos.